{c}{x=3y+2}{x-5=4(y-5)} सोडवा

$$\left. \begin{array} { c } { x = 3 y + 2 } \\ { x - 5 = 4 ( y - 5 ) } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=53$$

$$y=17$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 3y वजा करा.

$$x-3y=2$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. 4 ला y-5 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$x-5=4y-20$$

दोन्ही बाजूंकडून 4y वजा करा.

$$x-5-4y=-20$$

दोन्ही बाजूंना 5 जोडा.

$$x-4y=-20+5$$

-15 मिळविण्यासाठी -20 आणि 5 जोडा.

$$x-4y=-15$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$x-3y=2,x-4y=-15$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$x-3y=2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 3y जोडा.

$$x=3y+2$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी 3y+2 चा विकल्प वापरा, x-4y=-15.

$$3y+2-4y=-15$$

3y ते -4y जोडा.

$$-y+2=-15$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 2 वजा करा.

$$-y=-17$$

दोन्ही बाजूंना -1 ने विभागा.

$$y=17$$

x=3y+2 मध्ये y साठी 17 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=3\times 17+2$$

17 ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$x=51+2$$

2 ते 51 जोडा.

$$x=53$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=53,y=17$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 3y वजा करा.

$$x-3y=2$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. 4 ला y-5 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$x-5=4y-20$$

दोन्ही बाजूंकडून 4y वजा करा.

$$x-5-4y=-20$$

दोन्ही बाजूंना 5 जोडा.

$$x-4y=-20+5$$

-15 मिळविण्यासाठी -20 आणि 5 जोडा.

$$x-4y=-15$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$x-3y=2,x-4y=-15$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-15\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-15\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-15\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{-4-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{-4-\left(-3\right)}&\frac{1}{-4-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-15\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4&-3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-15\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\times 2-3\left(-15\right)\\2-\left(-15\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}53\\17\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=53,y=17$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 3y वजा करा.

$$x-3y=2$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. 4 ला y-5 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$x-5=4y-20$$

दोन्ही बाजूंकडून 4y वजा करा.

$$x-5-4y=-20$$

दोन्ही बाजूंना 5 जोडा.

$$x-4y=-20+5$$

-15 मिळविण्यासाठी -20 आणि 5 जोडा.

$$x-4y=-15$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$x-3y=2,x-4y=-15$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून x-3y=2 मधून x-4y=-15 वजा करा.

$$x-x-3y+4y=2+15$$

x ते -x जोडा. x आणि -x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-3y+4y=2+15$$

-3y ते 4y जोडा.

$$y=2+15$$

2 ते 15 जोडा.

$$y=17$$

x-4y=-15 मध्ये y साठी 17 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x-4\times 17=-15$$

17 ला -4 वेळा गुणाकार करा.

$$x-68=-15$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 68 जोडा.

$$x=53$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=53,y=17$$