{c}{x+y=64}{12x+26y=19} सोडवा

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 64 } \\ { 12 x + 26 y = 19 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = \frac{235}{2} = 117\frac{1}{2} = 117.5$$

$$y = -\frac{107}{2} = -53\frac{1}{2} = -53.5$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$x+y=64,12x+26y=19$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$x+y=64$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून y वजा करा.

$$x=-y+64$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -y+64 चा विकल्प वापरा, 12x+26y=19.

$$12\left(-y+64\right)+26y=19$$

-y+64 ला 12 वेळा गुणाकार करा.

$$-12y+768+26y=19$$

-12y ते 26y जोडा.

$$14y+768=19$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 768 वजा करा.

$$14y=-749$$

दोन्ही बाजूंना 14 ने विभागा.

$$y=-\frac{107}{2}$$

x=-y+64 मध्ये y साठी -\frac{107}{2} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\left(-\frac{107}{2}\right)+64$$

-\frac{107}{2} ला -1 वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{107}{2}+64$$

64 ते \frac{107}{2} जोडा.

$$x=\frac{235}{2}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{235}{2},y=-\frac{107}{2}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$x+y=64,12x+26y=19$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\12&26\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}64\\19\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&1\\12&26\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\12&26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\12&26\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\12&26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\19\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\12&26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\19\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\12&26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\19\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{26}{26-12}&-\frac{1}{26-12}\\-\frac{12}{26-12}&\frac{1}{26-12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\\19\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{7}&-\frac{1}{14}\\-\frac{6}{7}&\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\\19\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{7}\times 64-\frac{1}{14}\times 19\\-\frac{6}{7}\times 64+\frac{1}{14}\times 19\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{235}{2}\\-\frac{107}{2}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{235}{2},y=-\frac{107}{2}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$x+y=64,12x+26y=19$$

x आणि 12x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 12 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने गुणाकार करा.

$$12x+12y=12\times 64,12x+26y=19$$

सरलीकृत करा.

$$12x+12y=768,12x+26y=19$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 12x+12y=768 मधून 12x+26y=19 वजा करा.

$$12x-12x+12y-26y=768-19$$

12x ते -12x जोडा. 12x आणि -12x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$12y-26y=768-19$$

12y ते -26y जोडा.

$$-14y=768-19$$

768 ते -19 जोडा.

$$-14y=749$$

दोन्ही बाजूंना -14 ने विभागा.

$$y=-\frac{107}{2}$$

12x+26y=19 मध्ये y साठी -\frac{107}{2} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$12x+26\left(-\frac{107}{2}\right)=19$$

-\frac{107}{2} ला 26 वेळा गुणाकार करा.

$$12x-1391=19$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 1391 जोडा.

$$12x=1410$$

दोन्ही बाजूंना 12 ने विभागा.

$$x=\frac{235}{2}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{235}{2},y=-\frac{107}{2}$$