{c}{x+y=60}{15x+25y=1150} सोडवा

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 60 } \\ { 15 x + 25 y = 1150 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=35$$

$$y=25$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$x+y=60,15x+25y=1150$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$x+y=60$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून y वजा करा.

$$x=-y+60$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -y+60 चा विकल्प वापरा, 15x+25y=1150.

$$15\left(-y+60\right)+25y=1150$$

-y+60 ला 15 वेळा गुणाकार करा.

$$-15y+900+25y=1150$$

-15y ते 25y जोडा.

$$10y+900=1150$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 900 वजा करा.

$$10y=250$$

दोन्ही बाजूंना 10 ने विभागा.

$$y=25$$

x=-y+60 मध्ये y साठी 25 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-25+60$$

60 ते -25 जोडा.

$$x=35$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=35,y=25$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$x+y=60,15x+25y=1150$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\15&25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}60\\1150\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&1\\15&25\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\15&25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\15&25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\15&25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\1150\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\15&25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\1150\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\15&25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\1150\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{25-15}&-\frac{1}{25-15}\\-\frac{15}{25-15}&\frac{1}{25-15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}60\\1150\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}&-\frac{1}{10}\\-\frac{3}{2}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}60\\1150\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\times 60-\frac{1}{10}\times 1150\\-\frac{3}{2}\times 60+\frac{1}{10}\times 1150\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}35\\25\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=35,y=25$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$x+y=60,15x+25y=1150$$

x आणि 15x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 15 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने गुणाकार करा.

$$15x+15y=15\times 60,15x+25y=1150$$

सरलीकृत करा.

$$15x+15y=900,15x+25y=1150$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 15x+15y=900 मधून 15x+25y=1150 वजा करा.

$$15x-15x+15y-25y=900-1150$$

15x ते -15x जोडा. 15x आणि -15x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$15y-25y=900-1150$$

15y ते -25y जोडा.

$$-10y=900-1150$$

900 ते -1150 जोडा.

$$-10y=-250$$

दोन्ही बाजूंना -10 ने विभागा.

$$y=25$$

15x+25y=1150 मध्ये y साठी 25 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$15x+25\times 25=1150$$

25 ला 25 वेळा गुणाकार करा.

$$15x+625=1150$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 625 वजा करा.

$$15x=525$$

दोन्ही बाजूंना 15 ने विभागा.

$$x=35$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=35,y=25$$