{c}{x+y=50}{300x+200y=11500} सोडवा

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 50 } \\ { 300 x + 200 y = 11500 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=15$$

$$y=35$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$x+y=50,300x+200y=11500$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$x+y=50$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून y वजा करा.

$$x=-y+50$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -y+50 चा विकल्प वापरा, 300x+200y=11500.

$$300\left(-y+50\right)+200y=11500$$

-y+50 ला 300 वेळा गुणाकार करा.

$$-300y+15000+200y=11500$$

-300y ते 200y जोडा.

$$-100y+15000=11500$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 15000 वजा करा.

$$-100y=-3500$$

दोन्ही बाजूंना -100 ने विभागा.

$$y=35$$

x=-y+50 मध्ये y साठी 35 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-35+50$$

50 ते -35 जोडा.

$$x=15$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=15,y=35$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$x+y=50,300x+200y=11500$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\300&200\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\11500\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&1\\300&200\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\300&200\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\11500\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\11500\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\11500\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{200}{200-300}&-\frac{1}{200-300}\\-\frac{300}{200-300}&\frac{1}{200-300}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\11500\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&\frac{1}{100}\\3&-\frac{1}{100}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\11500\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\times 50+\frac{1}{100}\times 11500\\3\times 50-\frac{1}{100}\times 11500\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\35\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=15,y=35$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$x+y=50,300x+200y=11500$$

x आणि 300x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 300 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने गुणाकार करा.

$$300x+300y=300\times 50,300x+200y=11500$$

सरलीकृत करा.

$$300x+300y=15000,300x+200y=11500$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 300x+300y=15000 मधून 300x+200y=11500 वजा करा.

$$300x-300x+300y-200y=15000-11500$$

300x ते -300x जोडा. 300x आणि -300x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$300y-200y=15000-11500$$

300y ते -200y जोडा.

$$100y=15000-11500$$

15000 ते -11500 जोडा.

$$100y=3500$$

दोन्ही बाजूंना 100 ने विभागा.

$$y=35$$

300x+200y=11500 मध्ये y साठी 35 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$300x+200\times 35=11500$$

35 ला 200 वेळा गुणाकार करा.

$$300x+7000=11500$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 7000 वजा करा.

$$300x=4500$$

दोन्ही बाजूंना 300 ने विभागा.

$$x=15$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=15,y=35$$