{c}{x+y=2275}{35x+40y=60} सोडवा

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 2275 } \\ { 35 x + 40 y = 60 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=18188$$

$$y=-15913$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$x+y=2275,35x+40y=60$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$x+y=2275$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून y वजा करा.

$$x=-y+2275$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -y+2275 चा विकल्प वापरा, 35x+40y=60.

$$35\left(-y+2275\right)+40y=60$$

-y+2275 ला 35 वेळा गुणाकार करा.

$$-35y+79625+40y=60$$

-35y ते 40y जोडा.

$$5y+79625=60$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 79625 वजा करा.

$$5y=-79565$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$y=-15913$$

x=-y+2275 मध्ये y साठी -15913 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\left(-15913\right)+2275$$

-15913 ला -1 वेळा गुणाकार करा.

$$x=15913+2275$$

2275 ते 15913 जोडा.

$$x=18188$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=18188,y=-15913$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$x+y=2275,35x+40y=60$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\35&40\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2275\\60\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&1\\35&40\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\35&40\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\35&40\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\35&40\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2275\\60\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\35&40\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2275\\60\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\35&40\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2275\\60\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{40}{40-35}&-\frac{1}{40-35}\\-\frac{35}{40-35}&\frac{1}{40-35}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2275\\60\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8&-\frac{1}{5}\\-7&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2275\\60\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\times 2275-\frac{1}{5}\times 60\\-7\times 2275+\frac{1}{5}\times 60\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18188\\-15913\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=18188,y=-15913$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$x+y=2275,35x+40y=60$$

x आणि 35x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 35 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने गुणाकार करा.

$$35x+35y=35\times 2275,35x+40y=60$$

सरलीकृत करा.

$$35x+35y=79625,35x+40y=60$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 35x+35y=79625 मधून 35x+40y=60 वजा करा.

$$35x-35x+35y-40y=79625-60$$

35x ते -35x जोडा. 35x आणि -35x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$35y-40y=79625-60$$

35y ते -40y जोडा.

$$-5y=79625-60$$

79625 ते -60 जोडा.

$$-5y=79565$$

दोन्ही बाजूंना -5 ने विभागा.

$$y=-15913$$

35x+40y=60 मध्ये y साठी -15913 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$35x+40\left(-15913\right)=60$$

-15913 ला 40 वेळा गुणाकार करा.

$$35x-636520=60$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 636520 जोडा.

$$35x=636580$$

दोन्ही बाजूंना 35 ने विभागा.

$$x=18188$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=18188,y=-15913$$