{c}{x+y=21}{.25x+.05y=3.35} सोडवा

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 21 } \\ { .25 x + .05 y = 3.35 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=11.5$$

$$y=9.5$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$x+y=21,0.25x+0.05y=3.35$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$x+y=21$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून y वजा करा.

$$x=-y+21$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -y+21 चा विकल्प वापरा, 0.25x+0.05y=3.35.

$$0.25\left(-y+21\right)+0.05y=3.35$$

-y+21 ला 0.25 वेळा गुणाकार करा.

$$-0.25y+5.25+0.05y=3.35$$

-\frac{y}{4} ते \frac{y}{20} जोडा.

$$-0.2y+5.25=3.35$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 5.25 वजा करा.

$$-0.2y=-1.9$$

दोन्ही बाजूंना -5 ने गुणाकार करा.

$$y=9.5$$

x=-y+21 मध्ये y साठी 9.5 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-9.5+21$$

21 ते -9.5 जोडा.

$$x=11.5$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=11.5,y=9.5$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$x+y=21,0.25x+0.05y=3.35$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हे उलटे मॅट्रिक्स आहे, ज्यामुळे मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हणून पुन्हा लिहीली जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.05}{0.05-0.25}&-\frac{1}{0.05-0.25}\\-\frac{0.25}{0.05-0.25}&\frac{1}{0.05-0.25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.25&5\\1.25&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.25\times 21+5\times 3.35\\1.25\times 21-5\times 3.35\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11.5\\9.5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=11.5,y=9.5$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$x+y=21,0.25x+0.05y=3.35$$

x आणि \frac{x}{4} समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 0.25 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने गुणाकार करा.

$$0.25x+0.25y=0.25\times 21,0.25x+0.05y=3.35$$

सरलीकृत करा.

$$0.25x+0.25y=5.25,0.25x+0.05y=3.35$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 0.25x+0.25y=5.25 मधून 0.25x+0.05y=3.35 वजा करा.

$$0.25x-0.25x+0.25y-0.05y=5.25-3.35$$

\frac{x}{4} ते -\frac{x}{4} जोडा. \frac{x}{4} आणि -\frac{x}{4} रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$0.25y-0.05y=5.25-3.35$$

\frac{y}{4} ते -\frac{y}{20} जोडा.

$$0.2y=5.25-3.35$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून 5.25 ते -3.35 जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$0.2y=1.9$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने गुणाकार करा.

$$y=9.5$$

0.25x+0.05y=3.35 मध्ये y साठी 9.5 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$0.25x+0.05\times 9.5=3.35$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून 9.5 चा 0.05 वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$0.25x+0.475=3.35$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 0.475 वजा करा.

$$0.25x=2.875$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने गुणाकार करा.

$$x=11.5$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=11.5,y=9.5$$