{c}{x+y=11}{2y+x=17} सोडवा

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 11 } \\ { 2 y + x = 17 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=5$$

$$y=6$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$x+y=11,x+2y=17$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$x+y=11$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून y वजा करा.

$$x=-y+11$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -y+11 चा विकल्प वापरा, x+2y=17.

$$-y+11+2y=17$$

-y ते 2y जोडा.

$$y+11=17$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 11 वजा करा.

$$y=6$$

x=-y+11 मध्ये y साठी 6 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-6+11$$

11 ते -6 जोडा.

$$x=5$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=5,y=6$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$x+y=11,x+2y=17$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\17\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&1\\1&2\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\17\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\17\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\17\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-1}&-\frac{1}{2-1}\\-\frac{1}{2-1}&\frac{1}{2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\17\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\17\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 11-17\\-11+17\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=5,y=6$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$x+y=11,x+2y=17$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून x+y=11 मधून x+2y=17 वजा करा.

$$x-x+y-2y=11-17$$

x ते -x जोडा. x आणि -x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$y-2y=11-17$$

y ते -2y जोडा.

$$-y=11-17$$

11 ते -17 जोडा.

$$-y=-6$$

दोन्ही बाजूंना -1 ने विभागा.

$$y=6$$

x+2y=17 मध्ये y साठी 6 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x+2\times 6=17$$

6 ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$x+12=17$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 12 वजा करा.

$$x=5$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=5,y=6$$