{c}{4x-y=4}{-12x+2y=-3} सोडवा

$$\left. \begin{array} { c } { 4 x - y = 4 } \\ { - 12 x + 2 y = - 3 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = -\frac{5}{4} = -1\frac{1}{4} = -1.25$$

$$y=-9$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$4x-y=4,-12x+2y=-3$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$4x-y=4$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस y जोडा.

$$4x=y+4$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{4}\left(y+4\right)$$

y+4 ला \frac{1}{4} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{1}{4}y+1$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{y}{4}+1 चा विकल्प वापरा, -12x+2y=-3.

$$-12\left(\frac{1}{4}y+1\right)+2y=-3$$

\frac{y}{4}+1 ला -12 वेळा गुणाकार करा.

$$-3y-12+2y=-3$$

-3y ते 2y जोडा.

$$-y-12=-3$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 12 जोडा.

$$-y=9$$

दोन्ही बाजूंना -1 ने विभागा.

$$y=-9$$

x=\frac{1}{4}y+1 मध्ये y साठी -9 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{1}{4}\left(-9\right)+1$$

-9 ला \frac{1}{4} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{9}{4}+1$$

1 ते -\frac{9}{4} जोडा.

$$x=-\frac{5}{4}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{5}{4},y=-9$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$4x-y=4,-12x+2y=-3$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\-12&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}4&-1\\-12&2\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-12&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\-12&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-12&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-12&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-12&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-\left(-\left(-12\right)\right)}&-\frac{-1}{4\times 2-\left(-\left(-12\right)\right)}\\-\frac{-12}{4\times 2-\left(-\left(-12\right)\right)}&\frac{4}{4\times 2-\left(-\left(-12\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&-\frac{1}{4}\\-3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 4-\frac{1}{4}\left(-3\right)\\-3\times 4-\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{4}\\-9\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-\frac{5}{4},y=-9$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$4x-y=4,-12x+2y=-3$$

4x आणि -12x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -12 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 4 ने गुणाकार करा.

$$-12\times 4x-12\left(-1\right)y=-12\times 4,4\left(-12\right)x+4\times 2y=4\left(-3\right)$$

सरलीकृत करा.

$$-48x+12y=-48,-48x+8y=-12$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -48x+12y=-48 मधून -48x+8y=-12 वजा करा.

$$-48x+48x+12y-8y=-48+12$$

-48x ते 48x जोडा. -48x आणि 48x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$12y-8y=-48+12$$

12y ते -8y जोडा.

$$4y=-48+12$$

-48 ते 12 जोडा.

$$4y=-36$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$y=-9$$

-12x+2y=-3 मध्ये y साठी -9 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$-12x+2\left(-9\right)=-3$$

-9 ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$-12x-18=-3$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 18 जोडा.

$$-12x=15$$

दोन्ही बाजूंना -12 ने विभागा.

$$x=-\frac{5}{4}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{5}{4},y=-9$$