{c}{4x+2y=50}{x+y=20} सोडवा

$$\left. \begin{array} { c } { 4 x + 2 y = 50 } \\ { x + y = 20 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=5$$

$$y=15$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$4x+2y=50,x+y=20$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$4x+2y=50$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 2y वजा करा.

$$4x=-2y+50$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y+50\right)$$

-2y+50 ला \frac{1}{4} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{25}{2}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-y+25}{2} चा विकल्प वापरा, x+y=20.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{25}{2}+y=20$$

-\frac{y}{2} ते y जोडा.

$$\frac{1}{2}y+\frac{25}{2}=20$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{25}{2} वजा करा.

$$\frac{1}{2}y=\frac{15}{2}$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने गुणाकार करा.

$$y=15$$

x=-\frac{1}{2}y+\frac{25}{2} मध्ये y साठी 15 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{1}{2}\times 15+\frac{25}{2}$$

15 ला -\frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{-15+25}{2}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{25}{2} ते -\frac{15}{2} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=5$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=5,y=15$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$4x+2y=50,x+y=20$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-2}&-\frac{2}{4-2}\\-\frac{1}{4-2}&\frac{4}{4-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-1\\-\frac{1}{2}&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 50-20\\-\frac{1}{2}\times 50+2\times 20\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=5,y=15$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$4x+2y=50,x+y=20$$

4x आणि x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 4 ने गुणाकार करा.

$$4x+2y=50,4x+4y=4\times 20$$

सरलीकृत करा.

$$4x+2y=50,4x+4y=80$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 4x+2y=50 मधून 4x+4y=80 वजा करा.

$$4x-4x+2y-4y=50-80$$

4x ते -4x जोडा. 4x आणि -4x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$2y-4y=50-80$$

2y ते -4y जोडा.

$$-2y=50-80$$

50 ते -80 जोडा.

$$-2y=-30$$

दोन्ही बाजूंना -2 ने विभागा.

$$y=15$$

x+y=20 मध्ये y साठी 15 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x+15=20$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 15 वजा करा.

$$x=5$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=5,y=15$$