{c}{3.90x+y=359.70}{-1.80x-y=-131} सोडवा

$$\left. \begin{array} { c } { 3.90 x + y = 359.70 } \\ { - 1.80 x - y = - 131 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = \frac{2287}{21} = 108\frac{19}{21} \approx 108.904761905$$

$$y = -\frac{2276}{35} = -65\frac{1}{35} \approx -65.028571429$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$3.9x+y=359.7,-1.8x-y=-131$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$3.9x+y=359.7$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून y वजा करा.

$$3.9x=-y+359.7$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 3.9 ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$x=\frac{10}{39}\left(-y+359.7\right)$$

-y+359.7 ला \frac{10}{39} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{10}{39}y+\frac{1199}{13}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -\frac{10y}{39}+\frac{1199}{13} चा विकल्प वापरा, -1.8x-y=-131.

$$-1.8\left(-\frac{10}{39}y+\frac{1199}{13}\right)-y=-131$$

-\frac{10y}{39}+\frac{1199}{13} ला -1.8 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{6}{13}y-\frac{10791}{65}-y=-131$$

\frac{6y}{13} ते -y जोडा.

$$-\frac{7}{13}y-\frac{10791}{65}=-131$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{10791}{65} जोडा.

$$-\frac{7}{13}y=\frac{2276}{65}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{7}{13} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=-\frac{2276}{35}$$

x=-\frac{10}{39}y+\frac{1199}{13} मध्ये y साठी -\frac{2276}{35} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{10}{39}\left(-\frac{2276}{35}\right)+\frac{1199}{13}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून -\frac{2276}{35} चा -\frac{10}{39} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=\frac{4552}{273}+\frac{1199}{13}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{1199}{13} ते \frac{4552}{273} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=\frac{2287}{21}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{2287}{21},y=-\frac{2276}{35}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$3.9x+y=359.7,-1.8x-y=-131$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}359.7\\-131\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}359.7\\-131\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}359.7\\-131\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}359.7\\-131\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हे उलटे मॅट्रिक्स आहे, ज्यामुळे मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हणून पुन्हा लिहीली जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3.9\left(-1\right)-\left(-1.8\right)}&-\frac{1}{3.9\left(-1\right)-\left(-1.8\right)}\\-\frac{-1.8}{3.9\left(-1\right)-\left(-1.8\right)}&\frac{3.9}{3.9\left(-1\right)-\left(-1.8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}359.7\\-131\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{21}&\frac{10}{21}\\-\frac{6}{7}&-\frac{13}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}359.7\\-131\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{21}\times 359.7+\frac{10}{21}\left(-131\right)\\-\frac{6}{7}\times 359.7-\frac{13}{7}\left(-131\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2287}{21}\\-\frac{2276}{35}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{2287}{21},y=-\frac{2276}{35}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$3.9x+y=359.7,-1.8x-y=-131$$

\frac{39x}{10} आणि -\frac{9x}{5} समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -1.8 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3.9 ने गुणाकार करा.

$$-1.8\times 3.9x-1.8y=-1.8\times 359.7,3.9\left(-1.8\right)x+3.9\left(-1\right)y=3.9\left(-131\right)$$

सरलीकृत करा.

$$-7.02x-1.8y=-647.46,-7.02x-3.9y=-510.9$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -7.02x-1.8y=-647.46 मधून -7.02x-3.9y=-510.9 वजा करा.

$$-7.02x+7.02x-1.8y+3.9y=-647.46+510.9$$

-\frac{351x}{50} ते \frac{351x}{50} जोडा. -\frac{351x}{50} आणि \frac{351x}{50} रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-1.8y+3.9y=-647.46+510.9$$

-\frac{9y}{5} ते \frac{39y}{10} जोडा.

$$2.1y=-647.46+510.9$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून -647.46 ते 510.9 जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$2.1y=-136.56$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 2.1 ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=-\frac{2276}{35}$$

-1.8x-y=-131 मध्ये y साठी -\frac{2276}{35} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$-1.8x-\left(-\frac{2276}{35}\right)=-131$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{2276}{35} वजा करा.

$$-1.8x=-\frac{6861}{35}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -1.8 ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$x=\frac{2287}{21}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{2287}{21},y=-\frac{2276}{35}$$