{c}{3x+y=60}{x+y=40} सोडवा

$$\left. \begin{array} { c } { 3 x + y = 60 } \\ { x + y = 40 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=10$$

$$y=30$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$3x+y=60,x+y=40$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$3x+y=60$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून y वजा करा.

$$3x=-y+60$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+60\right)$$

-y+60 ला \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{1}{3}y+20$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -\frac{y}{3}+20 चा विकल्प वापरा, x+y=40.

$$-\frac{1}{3}y+20+y=40$$

-\frac{y}{3} ते y जोडा.

$$\frac{2}{3}y+20=40$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 20 वजा करा.

$$\frac{2}{3}y=20$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{2}{3} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=30$$

x=-\frac{1}{3}y+20 मध्ये y साठी 30 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{1}{3}\times 30+20$$

30 ला -\frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-10+20$$

20 ते -10 जोडा.

$$x=10$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=10,y=30$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$3x+y=60,x+y=40$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}60\\40\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\40\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\40\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\40\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-1}&-\frac{1}{3-1}\\-\frac{1}{3-1}&\frac{3}{3-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}60\\40\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}60\\40\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 60-\frac{1}{2}\times 40\\-\frac{1}{2}\times 60+\frac{3}{2}\times 40\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=10,y=30$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$3x+y=60,x+y=40$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 3x+y=60 मधून x+y=40 वजा करा.

$$3x-x+y-y=60-40$$

y ते -y जोडा. y आणि -y रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$3x-x=60-40$$

3x ते -x जोडा.

$$2x=60-40$$

60 ते -40 जोडा.

$$2x=20$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=10$$

x+y=40 मध्ये x साठी 10 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$10+y=40$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 10 वजा करा.

$$y=30$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=10,y=30$$