{c}{3x+y+5=0}{-2x-y+1=0} सोडवा

$$\left. \begin{array} { c } { 3 x + y + 5 = 0 } \\ { - 2 x - y + 1 = 0 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=-6$$

$$y=13$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$3x+y+5=0,-2x-y+1=0$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$3x+y+5=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 5 वजा करा.

$$3x+y=-5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून y वजा करा.

$$3x=-y-5$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y-5\right)$$

-y-5 ला \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{1}{3}y-\frac{5}{3}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-y-5}{3} चा विकल्प वापरा, -2x-y+1=0.

$$-2\left(-\frac{1}{3}y-\frac{5}{3}\right)-y+1=0$$

\frac{-y-5}{3} ला -2 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{2}{3}y+\frac{10}{3}-y+1=0$$

\frac{2y}{3} ते -y जोडा.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{10}{3}+1=0$$

\frac{10}{3} ते 1 जोडा.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{13}{3}=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{13}{3} वजा करा.

$$-\frac{1}{3}y=-\frac{13}{3}$$

दोन्ही बाजूंना -3 ने गुणाकार करा.

$$y=13$$

x=-\frac{1}{3}y-\frac{5}{3} मध्ये y साठी 13 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{1}{3}\times 13-\frac{5}{3}$$

13 ला -\frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{-13-5}{3}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून -\frac{5}{3} ते -\frac{13}{3} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=-6$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-6,y=13$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$3x+y+5=0,-2x-y+1=0$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\-2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5-1\\-2\left(-5\right)-3\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\13\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-6,y=13$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$3x+y+5=0,-2x-y+1=0$$

3x आणि -2x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -2 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने गुणाकार करा.

$$-2\times 3x-2y-2\times 5=0,3\left(-2\right)x+3\left(-1\right)y+3=0$$

सरलीकृत करा.

$$-6x-2y-10=0,-6x-3y+3=0$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -6x-2y-10=0 मधून -6x-3y+3=0 वजा करा.

$$-6x+6x-2y+3y-10-3=0$$

-6x ते 6x जोडा. -6x आणि 6x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-2y+3y-10-3=0$$

-2y ते 3y जोडा.

$$y-10-3=0$$

-10 ते -3 जोडा.

$$y-13=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 13 जोडा.

$$y=13$$

-2x-y+1=0 मध्ये y साठी 13 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$-2x-13+1=0$$

-13 ते 1 जोडा.

$$-2x-12=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 12 जोडा.

$$-2x=12$$

दोन्ही बाजूंना -2 ने विभागा.

$$x=-6$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-6,y=13$$