{c}{3x+4y=12}{x+6y=-16} सोडवा

$$\left. \begin{array} { c } { 3 x + 4 y = 12 } \\ { x + 6 y = - 16 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = \frac{68}{7} = 9\frac{5}{7} \approx 9.714285714$$

$$y = -\frac{30}{7} = -4\frac{2}{7} \approx -4.285714286$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$3x+4y=12,x+6y=-16$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$3x+4y=12$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 4y वजा करा.

$$3x=-4y+12$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+12\right)$$

-4y+12 ला \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{4}{3}y+4$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -\frac{4y}{3}+4 चा विकल्प वापरा, x+6y=-16.

$$-\frac{4}{3}y+4+6y=-16$$

-\frac{4y}{3} ते 6y जोडा.

$$\frac{14}{3}y+4=-16$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 4 वजा करा.

$$\frac{14}{3}y=-20$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{14}{3} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=-\frac{30}{7}$$

x=-\frac{4}{3}y+4 मध्ये y साठी -\frac{30}{7} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{4}{3}\left(-\frac{30}{7}\right)+4$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून -\frac{30}{7} चा -\frac{4}{3} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=\frac{40}{7}+4$$

4 ते \frac{40}{7} जोडा.

$$x=\frac{68}{7}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{68}{7},y=-\frac{30}{7}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$3x+4y=12,x+6y=-16$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\1&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\-16\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}3&4\\1&6\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\1&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-16\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-16\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-16\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{3\times 6-4}&-\frac{4}{3\times 6-4}\\-\frac{1}{3\times 6-4}&\frac{3}{3\times 6-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-16\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&-\frac{2}{7}\\-\frac{1}{14}&\frac{3}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-16\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 12-\frac{2}{7}\left(-16\right)\\-\frac{1}{14}\times 12+\frac{3}{14}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{68}{7}\\-\frac{30}{7}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{68}{7},y=-\frac{30}{7}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$3x+4y=12,x+6y=-16$$

3x आणि x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने गुणाकार करा.

$$3x+4y=12,3x+3\times 6y=3\left(-16\right)$$

सरलीकृत करा.

$$3x+4y=12,3x+18y=-48$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 3x+4y=12 मधून 3x+18y=-48 वजा करा.

$$3x-3x+4y-18y=12+48$$

3x ते -3x जोडा. 3x आणि -3x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$4y-18y=12+48$$

4y ते -18y जोडा.

$$-14y=12+48$$

12 ते 48 जोडा.

$$-14y=60$$

दोन्ही बाजूंना -14 ने विभागा.

$$y=-\frac{30}{7}$$

x+6y=-16 मध्ये y साठी -\frac{30}{7} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x+6\left(-\frac{30}{7}\right)=-16$$

-\frac{30}{7} ला 6 वेळा गुणाकार करा.

$$x-\frac{180}{7}=-16$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{180}{7} जोडा.

$$x=\frac{68}{7}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{68}{7},y=-\frac{30}{7}$$