{c}{3x+2y=32}{365x+226y=35.92} सोडवा

$$\left. \begin{array} { c } { 3 x + 2 y = 32 } \\ { 365 x + 226 y = 35.92 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = -\frac{44751}{325} = -137\frac{226}{325} \approx -137.695384615$$

$$y = \frac{144653}{650} = 222\frac{353}{650} \approx 222.543076923$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$3x+2y=32,365x+226y=35.92$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$3x+2y=32$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 2y वजा करा.

$$3x=-2y+32$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+32\right)$$

-2y+32 ला \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{32}{3}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-2y+32}{3} चा विकल्प वापरा, 365x+226y=35.92.

$$365\left(-\frac{2}{3}y+\frac{32}{3}\right)+226y=35.92$$

\frac{-2y+32}{3} ला 365 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{730}{3}y+\frac{11680}{3}+226y=35.92$$

-\frac{730y}{3} ते 226y जोडा.

$$-\frac{52}{3}y+\frac{11680}{3}=35.92$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{11680}{3} वजा करा.

$$-\frac{52}{3}y=-\frac{289306}{75}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{52}{3} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=\frac{144653}{650}$$

x=-\frac{2}{3}y+\frac{32}{3} मध्ये y साठी \frac{144653}{650} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{144653}{650}+\frac{32}{3}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{144653}{650} चा -\frac{2}{3} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=-\frac{144653}{975}+\frac{32}{3}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{32}{3} ते -\frac{144653}{975} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=-\frac{44751}{325}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{44751}{325},y=\frac{144653}{650}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$3x+2y=32,365x+226y=35.92$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}32\\35.92\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\35.92\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\35.92\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\35.92\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हे उलटे मॅट्रिक्स आहे, ज्यामुळे मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हणून पुन्हा लिहीली जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{226}{3\times 226-2\times 365}&-\frac{2}{3\times 226-2\times 365}\\-\frac{365}{3\times 226-2\times 365}&\frac{3}{3\times 226-2\times 365}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}32\\35.92\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{113}{26}&\frac{1}{26}\\\frac{365}{52}&-\frac{3}{52}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}32\\35.92\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{113}{26}\times 32+\frac{1}{26}\times 35.92\\\frac{365}{52}\times 32-\frac{3}{52}\times 35.92\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{44751}{325}\\\frac{144653}{650}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-\frac{44751}{325},y=\frac{144653}{650}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$3x+2y=32,365x+226y=35.92$$

3x आणि 365x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 365 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने गुणाकार करा.

$$365\times 3x+365\times 2y=365\times 32,3\times 365x+3\times 226y=3\times 35.92$$

सरलीकृत करा.

$$1095x+730y=11680,1095x+678y=107.76$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 1095x+730y=11680 मधून 1095x+678y=107.76 वजा करा.

$$1095x-1095x+730y-678y=11680-107.76$$

1095x ते -1095x जोडा. 1095x आणि -1095x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$730y-678y=11680-107.76$$

730y ते -678y जोडा.

$$52y=11680-107.76$$

11680 ते -107.76 जोडा.

$$52y=11572.24$$

दोन्ही बाजूंना 52 ने विभागा.

$$y=\frac{144653}{650}$$

365x+226y=35.92 मध्ये y साठी \frac{144653}{650} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$365x+226\times \frac{144653}{650}=35.92$$

\frac{144653}{650} ला 226 वेळा गुणाकार करा.

$$365x+\frac{16345789}{325}=35.92$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{16345789}{325} वजा करा.

$$365x=-\frac{3266823}{65}$$

दोन्ही बाजूंना 365 ने विभागा.

$$x=-\frac{44751}{325}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{44751}{325},y=\frac{144653}{650}$$