{c}{3x+2y=-9}{2x-3y=-6} सोडवा

$$\left. \begin{array} { c } { 3 x + 2 y = - 9 } \\ { 2 x - 3 y = - 6 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=-3$$

$$y=0$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$3x+2y=-9,2x-3y=-6$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$3x+2y=-9$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 2y वजा करा.

$$3x=-2y-9$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y-9\right)$$

-2y-9 ला \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{2}{3}y-3$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -\frac{2y}{3}-3 चा विकल्प वापरा, 2x-3y=-6.

$$2\left(-\frac{2}{3}y-3\right)-3y=-6$$

-\frac{2y}{3}-3 ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{4}{3}y-6-3y=-6$$

-\frac{4y}{3} ते -3y जोडा.

$$-\frac{13}{3}y-6=-6$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 6 जोडा.

$$-\frac{13}{3}y=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{13}{3} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=0$$

x=-\frac{2}{3}y-3 मध्ये y साठी 0 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-3$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-3,y=0$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$3x+2y=-9,2x-3y=-6$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-6\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}3&2\\2&-3\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-6\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-6\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-2\times 2}&-\frac{2}{3\left(-3\right)-2\times 2}\\-\frac{2}{3\left(-3\right)-2\times 2}&\frac{3}{3\left(-3\right)-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-6\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}&\frac{2}{13}\\\frac{2}{13}&-\frac{3}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-6\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}\left(-9\right)+\frac{2}{13}\left(-6\right)\\\frac{2}{13}\left(-9\right)-\frac{3}{13}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-3,y=0$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$3x+2y=-9,2x-3y=-6$$

3x आणि 2x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने गुणाकार करा.

$$2\times 3x+2\times 2y=2\left(-9\right),3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\left(-6\right)$$

सरलीकृत करा.

$$6x+4y=-18,6x-9y=-18$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 6x+4y=-18 मधून 6x-9y=-18 वजा करा.

$$6x-6x+4y+9y=-18+18$$

6x ते -6x जोडा. 6x आणि -6x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$4y+9y=-18+18$$

4y ते 9y जोडा.

$$13y=-18+18$$

-18 ते 18 जोडा.

$$13y=0$$

दोन्ही बाजूंना 13 ने विभागा.

$$y=0$$

2x-3y=-6 मध्ये y साठी 0 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$2x=-6$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=-3$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-3,y=0$$