{c}{2.7x+3.1y=42.5}{x+y=15} सोडवा

$$\left. \begin{array} { c } { 2.7 x + 3.1 y = 42.5 } \\ { x + y = 15 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=10$$

$$y=5$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$2.7x+3.1y=42.5,x+y=15$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$2.7x+3.1y=42.5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{31y}{10} वजा करा.

$$2.7x=-3.1y+42.5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 2.7 ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$x=\frac{10}{27}\left(-3.1y+42.5\right)$$

-\frac{31y}{10}+42.5 ला \frac{10}{27} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{31}{27}y+\frac{425}{27}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-31y+425}{27} चा विकल्प वापरा, x+y=15.

$$-\frac{31}{27}y+\frac{425}{27}+y=15$$

-\frac{31y}{27} ते y जोडा.

$$-\frac{4}{27}y+\frac{425}{27}=15$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{425}{27} वजा करा.

$$-\frac{4}{27}y=-\frac{20}{27}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{4}{27} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=5$$

x=-\frac{31}{27}y+\frac{425}{27} मध्ये y साठी 5 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{31}{27}\times 5+\frac{425}{27}$$

5 ला -\frac{31}{27} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{-155+425}{27}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{425}{27} ते -\frac{155}{27} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=10$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=10,y=5$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$2.7x+3.1y=42.5,x+y=15$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}2.7&3.1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}42.5\\15\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}2.7&3.1\\1&1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2.7&3.1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2.7&3.1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.7&3.1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}42.5\\15\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.7&3.1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}42.5\\15\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.7&3.1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}42.5\\15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2.7-3.1}&-\frac{3.1}{2.7-3.1}\\-\frac{1}{2.7-3.1}&\frac{2.7}{2.7-3.1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}42.5\\15\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2.5&7.75\\2.5&-6.75\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}42.5\\15\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2.5\times 42.5+7.75\times 15\\2.5\times 42.5-6.75\times 15\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=10,y=5$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$2.7x+3.1y=42.5,x+y=15$$

\frac{27x}{10} आणि x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2.7 ने गुणाकार करा.

$$2.7x+3.1y=42.5,2.7x+2.7y=2.7\times 15$$

सरलीकृत करा.

$$2.7x+3.1y=42.5,2.7x+2.7y=40.5$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 2.7x+3.1y=42.5 मधून 2.7x+2.7y=40.5 वजा करा.

$$2.7x-2.7x+3.1y-2.7y=\frac{85-81}{2}$$

\frac{27x}{10} ते -\frac{27x}{10} जोडा. \frac{27x}{10} आणि -\frac{27x}{10} रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$3.1y-2.7y=\frac{85-81}{2}$$

\frac{31y}{10} ते -\frac{27y}{10} जोडा.

$$0.4y=\frac{85-81}{2}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून 42.5 ते -40.5 जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$0.4y=2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 0.4 ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=5$$

x+y=15 मध्ये y साठी 5 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x+5=15$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 5 वजा करा.

$$x=10$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=10,y=5$$