{c}{2x+y=5}{-4x+6y=12} सोडवा

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x + y = 5 } \\ { - 4 x + 6 y = 12 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = \frac{9}{8} = 1\frac{1}{8} = 1.125$$

$$y = \frac{11}{4} = 2\frac{3}{4} = 2.75$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$2x+y=5,-4x+6y=12$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$2x+y=5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून y वजा करा.

$$2x=-y+5$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+5\right)$$

-y+5 ला \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-y+5}{2} चा विकल्प वापरा, -4x+6y=12.

$$-4\left(-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}\right)+6y=12$$

\frac{-y+5}{2} ला -4 वेळा गुणाकार करा.

$$2y-10+6y=12$$

2y ते 6y जोडा.

$$8y-10=12$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 10 जोडा.

$$8y=22$$

दोन्ही बाजूंना 8 ने विभागा.

$$y=\frac{11}{4}$$

x=-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2} मध्ये y साठी \frac{11}{4} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{11}{4}+\frac{5}{2}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{11}{4} चा -\frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=-\frac{11}{8}+\frac{5}{2}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{5}{2} ते -\frac{11}{8} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=\frac{9}{8}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{9}{8},y=\frac{11}{4}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$2x+y=5,-4x+6y=12$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\-4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\12\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}2&1\\-4&6\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\-4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\12\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\12\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{2\times 6-\left(-4\right)}&-\frac{1}{2\times 6-\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{2\times 6-\left(-4\right)}&\frac{2}{2\times 6-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\12\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}&-\frac{1}{16}\\\frac{1}{4}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\12\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}\times 5-\frac{1}{16}\times 12\\\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{8}\times 12\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{8}\\\frac{11}{4}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{9}{8},y=\frac{11}{4}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$2x+y=5,-4x+6y=12$$

2x आणि -4x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -4 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने गुणाकार करा.

$$-4\times 2x-4y=-4\times 5,2\left(-4\right)x+2\times 6y=2\times 12$$

सरलीकृत करा.

$$-8x-4y=-20,-8x+12y=24$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -8x-4y=-20 मधून -8x+12y=24 वजा करा.

$$-8x+8x-4y-12y=-20-24$$

-8x ते 8x जोडा. -8x आणि 8x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-4y-12y=-20-24$$

-4y ते -12y जोडा.

$$-16y=-20-24$$

-20 ते -24 जोडा.

$$-16y=-44$$

दोन्ही बाजूंना -16 ने विभागा.

$$y=\frac{11}{4}$$

-4x+6y=12 मध्ये y साठी \frac{11}{4} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$-4x+6\times \frac{11}{4}=12$$

\frac{11}{4} ला 6 वेळा गुणाकार करा.

$$-4x+\frac{33}{2}=12$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{33}{2} वजा करा.

$$-4x=-\frac{9}{2}$$

दोन्ही बाजूंना -4 ने विभागा.

$$x=\frac{9}{8}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{9}{8},y=\frac{11}{4}$$