{c}{2x+y=3}{-2x-4y=-1} सोडवा

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x + y = 3 } \\ { - 2 x - 4 y = - 1 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = \frac{11}{6} = 1\frac{5}{6} \approx 1.833333333$$

$$y=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$2x+y=3,-2x-4y=-1$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$2x+y=3$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून y वजा करा.

$$2x=-y+3$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+3\right)$$

-y+3 ला \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-y+3}{2} चा विकल्प वापरा, -2x-4y=-1.

$$-2\left(-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}\right)-4y=-1$$

\frac{-y+3}{2} ला -2 वेळा गुणाकार करा.

$$y-3-4y=-1$$

y ते -4y जोडा.

$$-3y-3=-1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 3 जोडा.

$$-3y=2$$

दोन्ही बाजूंना -3 ने विभागा.

$$y=-\frac{2}{3}$$

x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2} मध्ये y साठी -\frac{2}{3} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-\frac{2}{3}\right)+\frac{3}{2}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून -\frac{2}{3} चा -\frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=\frac{1}{3}+\frac{3}{2}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{3}{2} ते \frac{1}{3} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=\frac{11}{6}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{11}{6},y=-\frac{2}{3}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$2x+y=3,-2x-4y=-1$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\-2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}2&1\\-2&-4\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\-2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-\left(-2\right)}&-\frac{1}{2\left(-4\right)-\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2\left(-4\right)-\left(-2\right)}&\frac{2}{2\left(-4\right)-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{6}\\-\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 3+\frac{1}{6}\left(-1\right)\\-\frac{1}{3}\times 3-\frac{1}{3}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{6}\\-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{11}{6},y=-\frac{2}{3}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$2x+y=3,-2x-4y=-1$$

2x आणि -2x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -2 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने गुणाकार करा.

$$-2\times 2x-2y=-2\times 3,2\left(-2\right)x+2\left(-4\right)y=2\left(-1\right)$$

सरलीकृत करा.

$$-4x-2y=-6,-4x-8y=-2$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -4x-2y=-6 मधून -4x-8y=-2 वजा करा.

$$-4x+4x-2y+8y=-6+2$$

-4x ते 4x जोडा. -4x आणि 4x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-2y+8y=-6+2$$

-2y ते 8y जोडा.

$$6y=-6+2$$

-6 ते 2 जोडा.

$$6y=-4$$

दोन्ही बाजूंना 6 ने विभागा.

$$y=-\frac{2}{3}$$

-2x-4y=-1 मध्ये y साठी -\frac{2}{3} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$-2x-4\left(-\frac{2}{3}\right)=-1$$

-\frac{2}{3} ला -4 वेळा गुणाकार करा.

$$-2x+\frac{8}{3}=-1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{8}{3} वजा करा.

$$-2x=-\frac{11}{3}$$

दोन्ही बाजूंना -2 ने विभागा.

$$x=\frac{11}{6}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{11}{6},y=-\frac{2}{3}$$