{c}{2x+3y=-10}{x+4y=5} सोडवा

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x + 3 y = - 10 } \\ { x + 4 y = 5 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=-11$$

$$y=4$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$2x+3y=-10,x+4y=5$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$2x+3y=-10$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 3y वजा करा.

$$2x=-3y-10$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y-10\right)$$

-3y-10 ला \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{3}{2}y-5$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -\frac{3y}{2}-5 चा विकल्प वापरा, x+4y=5.

$$-\frac{3}{2}y-5+4y=5$$

-\frac{3y}{2} ते 4y जोडा.

$$\frac{5}{2}y-5=5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 5 जोडा.

$$\frac{5}{2}y=10$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{5}{2} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=4$$

x=-\frac{3}{2}y-5 मध्ये y साठी 4 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{3}{2}\times 4-5$$

4 ला -\frac{3}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-6-5$$

-5 ते -6 जोडा.

$$x=-11$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-11,y=4$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$2x+3y=-10,x+4y=5$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\5\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}2&3\\1&4\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\5\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{2\times 4-3}&-\frac{3}{2\times 4-3}\\-\frac{1}{2\times 4-3}&\frac{2}{2\times 4-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\5\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}&-\frac{3}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}\left(-10\right)-\frac{3}{5}\times 5\\-\frac{1}{5}\left(-10\right)+\frac{2}{5}\times 5\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-11\\4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-11,y=4$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$2x+3y=-10,x+4y=5$$

2x आणि x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने गुणाकार करा.

$$2x+3y=-10,2x+2\times 4y=2\times 5$$

सरलीकृत करा.

$$2x+3y=-10,2x+8y=10$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 2x+3y=-10 मधून 2x+8y=10 वजा करा.

$$2x-2x+3y-8y=-10-10$$

2x ते -2x जोडा. 2x आणि -2x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$3y-8y=-10-10$$

3y ते -8y जोडा.

$$-5y=-10-10$$

-10 ते -10 जोडा.

$$-5y=-20$$

दोन्ही बाजूंना -5 ने विभागा.

$$y=4$$

x+4y=5 मध्ये y साठी 4 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x+4\times 4=5$$

4 ला 4 वेळा गुणाकार करा.

$$x+16=5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 16 वजा करा.

$$x=-11$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-11,y=4$$