{c}{10x+14y=460}{x+y=40} सोडवा

$$\left. \begin{array} { c } { 10 x + 14 y = 460 } \\ { x + y = 40 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=25$$

$$y=15$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$10x+14y=460,x+y=40$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$10x+14y=460$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 14y वजा करा.

$$10x=-14y+460$$

दोन्ही बाजूंना 10 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{10}\left(-14y+460\right)$$

-14y+460 ला \frac{1}{10} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{7}{5}y+46$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -\frac{7y}{5}+46 चा विकल्प वापरा, x+y=40.

$$-\frac{7}{5}y+46+y=40$$

-\frac{7y}{5} ते y जोडा.

$$-\frac{2}{5}y+46=40$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 46 वजा करा.

$$-\frac{2}{5}y=-6$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{2}{5} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=15$$

x=-\frac{7}{5}y+46 मध्ये y साठी 15 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{7}{5}\times 15+46$$

15 ला -\frac{7}{5} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-21+46$$

46 ते -21 जोडा.

$$x=25$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=25,y=15$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$10x+14y=460,x+y=40$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}10&14\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}460\\40\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}10&14\\1&1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&14\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&14\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&14\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\40\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&14\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\40\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&14\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\40\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10-14}&-\frac{14}{10-14}\\-\frac{1}{10-14}&\frac{10}{10-14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}460\\40\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{7}{2}\\\frac{1}{4}&-\frac{5}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}460\\40\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 460+\frac{7}{2}\times 40\\\frac{1}{4}\times 460-\frac{5}{2}\times 40\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=25,y=15$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$10x+14y=460,x+y=40$$

10x आणि x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 10 ने गुणाकार करा.

$$10x+14y=460,10x+10y=10\times 40$$

सरलीकृत करा.

$$10x+14y=460,10x+10y=400$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 10x+14y=460 मधून 10x+10y=400 वजा करा.

$$10x-10x+14y-10y=460-400$$

10x ते -10x जोडा. 10x आणि -10x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$14y-10y=460-400$$

14y ते -10y जोडा.

$$4y=460-400$$

460 ते -400 जोडा.

$$4y=60$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$y=15$$

x+y=40 मध्ये y साठी 15 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x+15=40$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 15 वजा करा.

$$x=25$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=25,y=15$$