{c}{-3x+5y=2}{x+10y=-24} सोडवा

$$\left. \begin{array} { c } { - 3 x + 5 y = 2 } \\ { x + 10 y = - 24 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=-4$$

$$y=-2$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$-3x+5y=2,x+10y=-24$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$-3x+5y=2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 5y वजा करा.

$$-3x=-5y+2$$

दोन्ही बाजूंना -3 ने विभागा.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-5y+2\right)$$

-5y+2 ला -\frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{5}{3}y-\frac{2}{3}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{5y-2}{3} चा विकल्प वापरा, x+10y=-24.

$$\frac{5}{3}y-\frac{2}{3}+10y=-24$$

\frac{5y}{3} ते 10y जोडा.

$$\frac{35}{3}y-\frac{2}{3}=-24$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{2}{3} जोडा.

$$\frac{35}{3}y=-\frac{70}{3}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{35}{3} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=-2$$

x=\frac{5}{3}y-\frac{2}{3} मध्ये y साठी -2 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{5}{3}\left(-2\right)-\frac{2}{3}$$

-2 ला \frac{5}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{-10-2}{3}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून -\frac{2}{3} ते -\frac{10}{3} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=-4$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-4,y=-2$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$-3x+5y=2,x+10y=-24$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}-3&5\\1&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-24\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}-3&5\\1&10\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&5\\1&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-24\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-24\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-24\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{-3\times 10-5}&-\frac{5}{-3\times 10-5}\\-\frac{1}{-3\times 10-5}&-\frac{3}{-3\times 10-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-24\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\\\frac{1}{35}&\frac{3}{35}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-24\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}\times 2+\frac{1}{7}\left(-24\right)\\\frac{1}{35}\times 2+\frac{3}{35}\left(-24\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-4,y=-2$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$-3x+5y=2,x+10y=-24$$

-3x आणि x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -3 ने गुणाकार करा.

$$-3x+5y=2,-3x-3\times 10y=-3\left(-24\right)$$

सरलीकृत करा.

$$-3x+5y=2,-3x-30y=72$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -3x+5y=2 मधून -3x-30y=72 वजा करा.

$$-3x+3x+5y+30y=2-72$$

-3x ते 3x जोडा. -3x आणि 3x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$5y+30y=2-72$$

5y ते 30y जोडा.

$$35y=2-72$$

2 ते -72 जोडा.

$$35y=-70$$

दोन्ही बाजूंना 35 ने विभागा.

$$y=-2$$

x+10y=-24 मध्ये y साठी -2 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x+10\left(-2\right)=-24$$

-2 ला 10 वेळा गुणाकार करा.

$$x-20=-24$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 20 जोडा.

$$x=-4$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-4,y=-2$$