{c}{-3x+4y=20}{6x+3y=15} सोडवा

$$\left. \begin{array} { c } { - 3 x + 4 y = 20 } \\ { 6 x + 3 y = 15 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=0$$

$$y=5$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$-3x+4y=20,6x+3y=15$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$-3x+4y=20$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 4y वजा करा.

$$-3x=-4y+20$$

दोन्ही बाजूंना -3 ने विभागा.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-4y+20\right)$$

-4y+20 ला -\frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{4}{3}y-\frac{20}{3}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-20+4y}{3} चा विकल्प वापरा, 6x+3y=15.

$$6\left(\frac{4}{3}y-\frac{20}{3}\right)+3y=15$$

\frac{-20+4y}{3} ला 6 वेळा गुणाकार करा.

$$8y-40+3y=15$$

8y ते 3y जोडा.

$$11y-40=15$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 40 जोडा.

$$11y=55$$

दोन्ही बाजूंना 11 ने विभागा.

$$y=5$$

x=\frac{4}{3}y-\frac{20}{3} मध्ये y साठी 5 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{4}{3}\times 5-\frac{20}{3}$$

5 ला \frac{4}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{20-20}{3}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून -\frac{20}{3} ते \frac{20}{3} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=0$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=0,y=5$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$-3x+4y=20,6x+3y=15$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}-3&4\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\15\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}-3&4\\6&3\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&4\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\15\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\15\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-3\times 3-4\times 6}&-\frac{4}{-3\times 3-4\times 6}\\-\frac{6}{-3\times 3-4\times 6}&-\frac{3}{-3\times 3-4\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\15\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{11}&\frac{4}{33}\\\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\15\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{11}\times 20+\frac{4}{33}\times 15\\\frac{2}{11}\times 20+\frac{1}{11}\times 15\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=0,y=5$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$-3x+4y=20,6x+3y=15$$

-3x आणि 6x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 6 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -3 ने गुणाकार करा.

$$6\left(-3\right)x+6\times 4y=6\times 20,-3\times 6x-3\times 3y=-3\times 15$$

सरलीकृत करा.

$$-18x+24y=120,-18x-9y=-45$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -18x+24y=120 मधून -18x-9y=-45 वजा करा.

$$-18x+18x+24y+9y=120+45$$

-18x ते 18x जोडा. -18x आणि 18x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$24y+9y=120+45$$

24y ते 9y जोडा.

$$33y=120+45$$

120 ते 45 जोडा.

$$33y=165$$

दोन्ही बाजूंना 33 ने विभागा.

$$y=5$$

6x+3y=15 मध्ये y साठी 5 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$6x+3\times 5=15$$

5 ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$6x+15=15$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 15 वजा करा.

$$6x=0$$

दोन्ही बाजूंना 6 ने विभागा.

$$x=0$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=0,y=5$$