{c}{3/2a+b=1}{a+b/2=7} सोडवा

$$\left. \begin{array} { c } { \frac { 3 } { 2 } a + b = 1 } \\ { a + \frac { b } { 2 } = 7 } \end{array} \right.$$

a, b साठी सोडवा

$$a=26$$

$$b=-38$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$\frac{3}{2}a+b=1,a+\frac{1}{2}b=7$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला a विलग करून, a साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$\frac{3}{2}a+b=1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून b वजा करा.

$$\frac{3}{2}a=-b+1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{3}{2} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$a=\frac{2}{3}\left(-b+1\right)$$

-b+1 ला \frac{2}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$a=-\frac{2}{3}b+\frac{2}{3}$$

इतर समीकरणामध्ये a साठी \frac{-2b+2}{3} चा विकल्प वापरा, a+\frac{1}{2}b=7.

$$-\frac{2}{3}b+\frac{2}{3}+\frac{1}{2}b=7$$

-\frac{2b}{3} ते \frac{b}{2} जोडा.

$$-\frac{1}{6}b+\frac{2}{3}=7$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{2}{3} वजा करा.

$$-\frac{1}{6}b=\frac{19}{3}$$

दोन्ही बाजूंना -6 ने गुणाकार करा.

$$b=-38$$

a=-\frac{2}{3}b+\frac{2}{3} मध्ये b साठी -38 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण a साठी थेट सोडवू शकता.

$$a=-\frac{2}{3}\left(-38\right)+\frac{2}{3}$$

-38 ला -\frac{2}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$a=\frac{76+2}{3}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{2}{3} ते \frac{76}{3} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$a=26$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$a=26,b=-38$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$\frac{3}{2}a+b=1,a+\frac{1}{2}b=7$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हे उलटे मॅट्रिक्स आहे, ज्यामुळे मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हणून पुन्हा लिहीली जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}\times \frac{1}{2}-1}&-\frac{1}{\frac{3}{2}\times \frac{1}{2}-1}\\-\frac{1}{\frac{3}{2}\times \frac{1}{2}-1}&\frac{\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}\times \frac{1}{2}-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&4\\4&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2+4\times 7\\4-6\times 7\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}26\\-38\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे a आणि b घटक बाहेर काढा.

$$a=26,b=-38$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$\frac{3}{2}a+b=1,a+\frac{1}{2}b=7$$

\frac{3a}{2} आणि a समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना \frac{3}{2} ने गुणाकार करा.

$$\frac{3}{2}a+b=1,\frac{3}{2}a+\frac{3}{2}\times \frac{1}{2}b=\frac{3}{2}\times 7$$

सरलीकृत करा.

$$\frac{3}{2}a+b=1,\frac{3}{2}a+\frac{3}{4}b=\frac{21}{2}$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून \frac{3}{2}a+b=1 मधून \frac{3}{2}a+\frac{3}{4}b=\frac{21}{2} वजा करा.

$$\frac{3}{2}a-\frac{3}{2}a+b-\frac{3}{4}b=1-\frac{21}{2}$$

\frac{3a}{2} ते -\frac{3a}{2} जोडा. \frac{3a}{2} आणि -\frac{3a}{2} रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$b-\frac{3}{4}b=1-\frac{21}{2}$$

b ते -\frac{3b}{4} जोडा.

$$\frac{1}{4}b=1-\frac{21}{2}$$

1 ते -\frac{21}{2} जोडा.

$$\frac{1}{4}b=-\frac{19}{2}$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने गुणाकार करा.

$$b=-38$$

a+\frac{1}{2}b=7 मध्ये b साठी -38 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण a साठी थेट सोडवू शकता.

$$a+\frac{1}{2}\left(-38\right)=7$$

-38 ला \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$a-19=7$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 19 जोडा.

$$a=26$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$a=26,b=-38$$