{c}{1/2a+b=-2}{a-2b=8} सोडवा

$$\left. \begin{array} { c } { \frac { 1 } { 2 } a + b = - 2 } \\ { a - 2 b = 8 } \end{array} \right.$$

a, b साठी सोडवा

$$a=2$$

$$b=-3$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$\frac{1}{2}a+b=-2,a-2b=8$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला a विलग करून, a साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$\frac{1}{2}a+b=-2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून b वजा करा.

$$\frac{1}{2}a=-b-2$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने गुणाकार करा.

$$a=2\left(-b-2\right)$$

-b-2 ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$a=-2b-4$$

इतर समीकरणामध्ये a साठी -2b-4 चा विकल्प वापरा, a-2b=8.

$$-2b-4-2b=8$$

-2b ते -2b जोडा.

$$-4b-4=8$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 4 जोडा.

$$-4b=12$$

दोन्ही बाजूंना -4 ने विभागा.

$$b=-3$$

a=-2b-4 मध्ये b साठी -3 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण a साठी थेट सोडवू शकता.

$$a=-2\left(-3\right)-4$$

-3 ला -2 वेळा गुणाकार करा.

$$a=6-4$$

-4 ते 6 जोडा.

$$a=2$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$a=2,b=-3$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$\frac{1}{2}a+b=-2,a-2b=8$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\1&-2\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{\frac{1}{2}\left(-2\right)-1}&-\frac{1}{\frac{1}{2}\left(-2\right)-1}\\-\frac{1}{\frac{1}{2}\left(-2\right)-1}&\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\left(-2\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2+\frac{1}{2}\times 8\\\frac{1}{2}\left(-2\right)-\frac{1}{4}\times 8\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे a आणि b घटक बाहेर काढा.

$$a=2,b=-3$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$\frac{1}{2}a+b=-2,a-2b=8$$

\frac{a}{2} आणि a समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना \frac{1}{2} ने गुणाकार करा.

$$\frac{1}{2}a+b=-2,\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}\left(-2\right)b=\frac{1}{2}\times 8$$

सरलीकृत करा.

$$\frac{1}{2}a+b=-2,\frac{1}{2}a-b=4$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून \frac{1}{2}a+b=-2 मधून \frac{1}{2}a-b=4 वजा करा.

$$\frac{1}{2}a-\frac{1}{2}a+b+b=-2-4$$

\frac{a}{2} ते -\frac{a}{2} जोडा. \frac{a}{2} आणि -\frac{a}{2} रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$b+b=-2-4$$

b ते b जोडा.

$$2b=-2-4$$

-2 ते -4 जोडा.

$$2b=-6$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$b=-3$$

a-2b=8 मध्ये b साठी -3 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण a साठी थेट सोडवू शकता.

$$a-2\left(-3\right)=8$$

-3 ला -2 वेळा गुणाकार करा.

$$a+6=8$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 6 वजा करा.

$$a=2$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$a=2,b=-3$$