{l}{x-2(x+y)=3y-2}{x/3+y/2=3} सोडवा

$$\left\{ \begin{array}{l}{ x - 2 ( x + y ) = 3 y - 2 }\\{ \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 2 } = 3 }\end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=12$$

$$y=-2$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. -2 ला x+y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$x-2x-2y=3y-2$$

-x मिळविण्यासाठी x आणि -2x एकत्र करा.

$$-x-2y=3y-2$$

दोन्ही बाजूंकडून 3y वजा करा.

$$-x-2y-3y=-2$$

-5y मिळविण्यासाठी -2y आणि -3y एकत्र करा.

$$-x-5y=-2$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 6 ने गुणाकार करा, 3,2 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$2x+3y=18$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$-x-5y=-2,2x+3y=18$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$-x-5y=-2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 5y जोडा.

$$-x=5y-2$$

दोन्ही बाजूंना -1 ने विभागा.

$$x=-\left(5y-2\right)$$

5y-2 ला -1 वेळा गुणाकार करा.

$$x=-5y+2$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -5y+2 चा विकल्प वापरा, 2x+3y=18.

$$2\left(-5y+2\right)+3y=18$$

-5y+2 ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$-10y+4+3y=18$$

-10y ते 3y जोडा.

$$-7y+4=18$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 4 वजा करा.

$$-7y=14$$

दोन्ही बाजूंना -7 ने विभागा.

$$y=-2$$

x=-5y+2 मध्ये y साठी -2 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-5\left(-2\right)+2$$

-2 ला -5 वेळा गुणाकार करा.

$$x=10+2$$

2 ते 10 जोडा.

$$x=12$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=12,y=-2$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. -2 ला x+y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$x-2x-2y=3y-2$$

-x मिळविण्यासाठी x आणि -2x एकत्र करा.

$$-x-2y=3y-2$$

दोन्ही बाजूंकडून 3y वजा करा.

$$-x-2y-3y=-2$$

-5y मिळविण्यासाठी -2y आणि -3y एकत्र करा.

$$-x-5y=-2$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 6 ने गुणाकार करा, 3,2 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$2x+3y=18$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$-x-5y=-2,2x+3y=18$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}-1&-5\\2&3\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-3-\left(-5\times 2\right)}&-\frac{-5}{-3-\left(-5\times 2\right)}\\-\frac{2}{-3-\left(-5\times 2\right)}&-\frac{1}{-3-\left(-5\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&\frac{5}{7}\\-\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\left(-2\right)+\frac{5}{7}\times 18\\-\frac{2}{7}\left(-2\right)-\frac{1}{7}\times 18\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\-2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=12,y=-2$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. -2 ला x+y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$x-2x-2y=3y-2$$

-x मिळविण्यासाठी x आणि -2x एकत्र करा.

$$-x-2y=3y-2$$

दोन्ही बाजूंकडून 3y वजा करा.

$$-x-2y-3y=-2$$

-5y मिळविण्यासाठी -2y आणि -3y एकत्र करा.

$$-x-5y=-2$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 6 ने गुणाकार करा, 3,2 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$2x+3y=18$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$-x-5y=-2,2x+3y=18$$

-x आणि 2x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -1 ने गुणाकार करा.

$$2\left(-1\right)x+2\left(-5\right)y=2\left(-2\right),-2x-3y=-18$$

सरलीकृत करा.

$$-2x-10y=-4,-2x-3y=-18$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -2x-10y=-4 मधून -2x-3y=-18 वजा करा.

$$-2x+2x-10y+3y=-4+18$$

-2x ते 2x जोडा. -2x आणि 2x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-10y+3y=-4+18$$

-10y ते 3y जोडा.

$$-7y=-4+18$$

-4 ते 18 जोडा.

$$-7y=14$$

दोन्ही बाजूंना -7 ने विभागा.

$$y=-2$$

2x+3y=18 मध्ये y साठी -2 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$2x+3\left(-2\right)=18$$

-2 ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$2x-6=18$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 6 जोडा.

$$2x=24$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=12$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=12,y=-2$$