{l}{4x+y=-2}{5x-2y=-48} सोडवा

$$\left\{ \begin{array}{l}{ 4 x + y = - 2 }\\{ 5 x - 2 y = - 48 }\end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=-4$$

$$y=14$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$4x+y=-2,5x-2y=-48$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$4x+y=-2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून y वजा करा.

$$4x=-y-2$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y-2\right)$$

-y-2 ला \frac{1}{4} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{1}{4}y-\frac{1}{2}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -\frac{y}{4}-\frac{1}{2} चा विकल्प वापरा, 5x-2y=-48.

$$5\left(-\frac{1}{4}y-\frac{1}{2}\right)-2y=-48$$

-\frac{y}{4}-\frac{1}{2} ला 5 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{5}{4}y-\frac{5}{2}-2y=-48$$

-\frac{5y}{4} ते -2y जोडा.

$$-\frac{13}{4}y-\frac{5}{2}=-48$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{5}{2} जोडा.

$$-\frac{13}{4}y=-\frac{91}{2}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{13}{4} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=14$$

x=-\frac{1}{4}y-\frac{1}{2} मध्ये y साठी 14 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{1}{4}\times 14-\frac{1}{2}$$

14 ला -\frac{1}{4} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{-7-1}{2}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून -\frac{1}{2} ते -\frac{7}{2} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=-4$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-4,y=14$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$4x+y=-2,5x-2y=-48$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-48\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}4&1\\5&-2\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-48\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-48\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-48\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{4\left(-2\right)-5}&-\frac{1}{4\left(-2\right)-5}\\-\frac{5}{4\left(-2\right)-5}&\frac{4}{4\left(-2\right)-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-48\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&\frac{1}{13}\\\frac{5}{13}&-\frac{4}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-48\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\left(-2\right)+\frac{1}{13}\left(-48\right)\\\frac{5}{13}\left(-2\right)-\frac{4}{13}\left(-48\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\14\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-4,y=14$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$4x+y=-2,5x-2y=-48$$

4x आणि 5x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 5 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 4 ने गुणाकार करा.

$$5\times 4x+5y=5\left(-2\right),4\times 5x+4\left(-2\right)y=4\left(-48\right)$$

सरलीकृत करा.

$$20x+5y=-10,20x-8y=-192$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 20x+5y=-10 मधून 20x-8y=-192 वजा करा.

$$20x-20x+5y+8y=-10+192$$

20x ते -20x जोडा. 20x आणि -20x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$5y+8y=-10+192$$

5y ते 8y जोडा.

$$13y=-10+192$$

-10 ते 192 जोडा.

$$13y=182$$

दोन्ही बाजूंना 13 ने विभागा.

$$y=14$$

5x-2y=-48 मध्ये y साठी 14 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$5x-2\times 14=-48$$

14 ला -2 वेळा गुणाकार करा.

$$5x-28=-48$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 28 जोडा.

$$5x=-20$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$x=-4$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-4,y=14$$