{l}{x/3+y/4=5/6}{3x+20y/5-frac{8y+1}{3}=frac{12x+16y}{15}} सोडवा

$$\left\{ \begin{array}{l}{ \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 4 } = \frac { 5 } { 6 } }\\{ \frac { 3 x + 20 y } { 5 } - \frac { 8 y + 1 } { 3 } = \frac { 12 x + 16 y } { 15 } }\end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=1$$

$$y=2$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 12 ने गुणाकार करा, 3,4,6 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$4x+3y=10$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 15 ने गुणाकार करा, 5,3,15 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$3\left(3x+20y\right)-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

3 ला 3x+20y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$9x+60y-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

-5 ला 8y+1 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$9x+60y-40y-5=12x+16y$$

20y मिळविण्यासाठी 60y आणि -40y एकत्र करा.

$$9x+20y-5=12x+16y$$

दोन्ही बाजूंकडून 12x वजा करा.

$$9x+20y-5-12x=16y$$

-3x मिळविण्यासाठी 9x आणि -12x एकत्र करा.

$$-3x+20y-5=16y$$

दोन्ही बाजूंकडून 16y वजा करा.

$$-3x+20y-5-16y=0$$

4y मिळविण्यासाठी 20y आणि -16y एकत्र करा.

$$-3x+4y-5=0$$

दोन्ही बाजूंना 5 जोडा. कोणत्याही संख्येत शून्य अधिक केल्यास तीच संख्या मिळते.

$$-3x+4y=5$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$4x+3y=10,-3x+4y=5$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$4x+3y=10$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 3y वजा करा.

$$4x=-3y+10$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+10\right)$$

-3y+10 ला \frac{1}{4} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{5}{2}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -\frac{3y}{4}+\frac{5}{2} चा विकल्प वापरा, -3x+4y=5.

$$-3\left(-\frac{3}{4}y+\frac{5}{2}\right)+4y=5$$

-\frac{3y}{4}+\frac{5}{2} ला -3 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{9}{4}y-\frac{15}{2}+4y=5$$

\frac{9y}{4} ते 4y जोडा.

$$\frac{25}{4}y-\frac{15}{2}=5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{15}{2} जोडा.

$$\frac{25}{4}y=\frac{25}{2}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{25}{4} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=2$$

x=-\frac{3}{4}y+\frac{5}{2} मध्ये y साठी 2 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{3}{4}\times 2+\frac{5}{2}$$

2 ला -\frac{3}{4} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{-3+5}{2}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{5}{2} ते -\frac{3}{2} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=1$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=1,y=2$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 12 ने गुणाकार करा, 3,4,6 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$4x+3y=10$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 15 ने गुणाकार करा, 5,3,15 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$3\left(3x+20y\right)-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

3 ला 3x+20y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$9x+60y-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

-5 ला 8y+1 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$9x+60y-40y-5=12x+16y$$

20y मिळविण्यासाठी 60y आणि -40y एकत्र करा.

$$9x+20y-5=12x+16y$$

दोन्ही बाजूंकडून 12x वजा करा.

$$9x+20y-5-12x=16y$$

-3x मिळविण्यासाठी 9x आणि -12x एकत्र करा.

$$-3x+20y-5=16y$$

दोन्ही बाजूंकडून 16y वजा करा.

$$-3x+20y-5-16y=0$$

4y मिळविण्यासाठी 20y आणि -16y एकत्र करा.

$$-3x+4y-5=0$$

दोन्ही बाजूंना 5 जोडा. कोणत्याही संख्येत शून्य अधिक केल्यास तीच संख्या मिळते.

$$-3x+4y=5$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$4x+3y=10,-3x+4y=5$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4\times 4-3\left(-3\right)}&-\frac{3}{4\times 4-3\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{4\times 4-3\left(-3\right)}&\frac{4}{4\times 4-3\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}&-\frac{3}{25}\\\frac{3}{25}&\frac{4}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}\times 10-\frac{3}{25}\times 5\\\frac{3}{25}\times 10+\frac{4}{25}\times 5\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=1,y=2$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 12 ने गुणाकार करा, 3,4,6 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$4x+3y=10$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 15 ने गुणाकार करा, 5,3,15 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$3\left(3x+20y\right)-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

3 ला 3x+20y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$9x+60y-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

-5 ला 8y+1 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$9x+60y-40y-5=12x+16y$$

20y मिळविण्यासाठी 60y आणि -40y एकत्र करा.

$$9x+20y-5=12x+16y$$

दोन्ही बाजूंकडून 12x वजा करा.

$$9x+20y-5-12x=16y$$

-3x मिळविण्यासाठी 9x आणि -12x एकत्र करा.

$$-3x+20y-5=16y$$

दोन्ही बाजूंकडून 16y वजा करा.

$$-3x+20y-5-16y=0$$

4y मिळविण्यासाठी 20y आणि -16y एकत्र करा.

$$-3x+4y-5=0$$

दोन्ही बाजूंना 5 जोडा. कोणत्याही संख्येत शून्य अधिक केल्यास तीच संख्या मिळते.

$$-3x+4y=5$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$4x+3y=10,-3x+4y=5$$

4x आणि -3x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -3 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 4 ने गुणाकार करा.

$$-3\times 4x-3\times 3y=-3\times 10,4\left(-3\right)x+4\times 4y=4\times 5$$

सरलीकृत करा.

$$-12x-9y=-30,-12x+16y=20$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -12x-9y=-30 मधून -12x+16y=20 वजा करा.

$$-12x+12x-9y-16y=-30-20$$

-12x ते 12x जोडा. -12x आणि 12x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-9y-16y=-30-20$$

-9y ते -16y जोडा.

$$-25y=-30-20$$

-30 ते -20 जोडा.

$$-25y=-50$$

दोन्ही बाजूंना -25 ने विभागा.

$$y=2$$

-3x+4y=5 मध्ये y साठी 2 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$-3x+4\times 2=5$$

2 ला 4 वेळा गुणाकार करा.

$$-3x+8=5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 8 वजा करा.

$$-3x=-3$$

दोन्ही बाजूंना -3 ने विभागा.

$$x=1$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=1,y=2$$