{r}{x+4y=-6}{4x+5y=9} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { r } { x + 4 y = - 6 } \\ { 4 x + 5 y = 9 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=6$$

$$y=-3$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$x+4y=-6,4x+5y=9$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$x+4y=-6$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 4y वजा करा.

$$x=-4y-6$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -4y-6 चा विकल्प वापरा, 4x+5y=9.

$$4\left(-4y-6\right)+5y=9$$

-4y-6 ला 4 वेळा गुणाकार करा.

$$-16y-24+5y=9$$

-16y ते 5y जोडा.

$$-11y-24=9$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 24 जोडा.

$$-11y=33$$

दोन्ही बाजूंना -11 ने विभागा.

$$y=-3$$

x=-4y-6 मध्ये y साठी -3 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-4\left(-3\right)-6$$

-3 ला -4 वेळा गुणाकार करा.

$$x=12-6$$

-6 ते 12 जोडा.

$$x=6$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=6,y=-3$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$x+4y=-6,4x+5y=9$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\9\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\9\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\9\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-4\times 4}&-\frac{4}{5-4\times 4}\\-\frac{4}{5-4\times 4}&\frac{1}{5-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\9\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{11}&\frac{4}{11}\\\frac{4}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\9\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{11}\left(-6\right)+\frac{4}{11}\times 9\\\frac{4}{11}\left(-6\right)-\frac{1}{11}\times 9\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=6,y=-3$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$x+4y=-6,4x+5y=9$$

x आणि 4x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 4 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने गुणाकार करा.

$$4x+4\times 4y=4\left(-6\right),4x+5y=9$$

सरलीकृत करा.

$$4x+16y=-24,4x+5y=9$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 4x+16y=-24 मधून 4x+5y=9 वजा करा.

$$4x-4x+16y-5y=-24-9$$

4x ते -4x जोडा. 4x आणि -4x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$16y-5y=-24-9$$

16y ते -5y जोडा.

$$11y=-24-9$$

-24 ते -9 जोडा.

$$11y=-33$$

दोन्ही बाजूंना 11 ने विभागा.

$$y=-3$$

4x+5y=9 मध्ये y साठी -3 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$4x+5\left(-3\right)=9$$

-3 ला 5 वेळा गुणाकार करा.

$$4x-15=9$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 15 जोडा.

$$4x=24$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$x=6$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=6,y=-3$$