{r}{5p-q=7}{-2p+3q=5} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { r } { 5 p - q = 7 } \\ { - 2 p + 3 q = 5 } \end{array} \right.$$

p, q साठी सोडवा

$$p=2$$

$$q=3$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$5p-q=7,-2p+3q=5$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला p विलग करून, p साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$5p-q=7$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस q जोडा.

$$5p=q+7$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$p=\frac{1}{5}\left(q+7\right)$$

q+7 ला \frac{1}{5} वेळा गुणाकार करा.

$$p=\frac{1}{5}q+\frac{7}{5}$$

इतर समीकरणामध्ये p साठी \frac{7+q}{5} चा विकल्प वापरा, -2p+3q=5.

$$-2\left(\frac{1}{5}q+\frac{7}{5}\right)+3q=5$$

\frac{7+q}{5} ला -2 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{2}{5}q-\frac{14}{5}+3q=5$$

-\frac{2q}{5} ते 3q जोडा.

$$\frac{13}{5}q-\frac{14}{5}=5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{14}{5} जोडा.

$$\frac{13}{5}q=\frac{39}{5}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{13}{5} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$q=3$$

p=\frac{1}{5}q+\frac{7}{5} मध्ये q साठी 3 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण p साठी थेट सोडवू शकता.

$$p=\frac{1}{5}\times 3+\frac{7}{5}$$

3 ला \frac{1}{5} वेळा गुणाकार करा.

$$p=\frac{3+7}{5}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{7}{5} ते \frac{3}{5} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$p=2$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$p=2,q=3$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$5p-q=7,-2p+3q=5$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}&-\frac{-1}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}&\frac{5}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\\\frac{2}{13}&\frac{5}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}\times 7+\frac{1}{13}\times 5\\\frac{2}{13}\times 7+\frac{5}{13}\times 5\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे p आणि q घटक बाहेर काढा.

$$p=2,q=3$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$5p-q=7,-2p+3q=5$$

5p आणि -2p समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -2 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 5 ने गुणाकार करा.

$$-2\times 5p-2\left(-1\right)q=-2\times 7,5\left(-2\right)p+5\times 3q=5\times 5$$

सरलीकृत करा.

$$-10p+2q=-14,-10p+15q=25$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -10p+2q=-14 मधून -10p+15q=25 वजा करा.

$$-10p+10p+2q-15q=-14-25$$

-10p ते 10p जोडा. -10p आणि 10p रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$2q-15q=-14-25$$

2q ते -15q जोडा.

$$-13q=-14-25$$

-14 ते -25 जोडा.

$$-13q=-39$$

दोन्ही बाजूंना -13 ने विभागा.

$$q=3$$

-2p+3q=5 मध्ये q साठी 3 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण p साठी थेट सोडवू शकता.

$$-2p+3\times 3=5$$

3 ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$-2p+9=5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 9 वजा करा.

$$-2p=-4$$

दोन्ही बाजूंना -2 ने विभागा.

$$p=2$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$p=2,q=3$$