{r}{4x-2y=6}{-2x+2y=8} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { r } { 4 x - 2 y = 6 } \\ { - 2 x + 2 y = 8 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=7$$

$$y=11$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$4x-2y=6,-2x+2y=8$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$4x-2y=6$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 2y जोडा.

$$4x=2y+6$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{4}\left(2y+6\right)$$

6+2y ला \frac{1}{4} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{3+y}{2} चा विकल्प वापरा, -2x+2y=8.

$$-2\left(\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}\right)+2y=8$$

\frac{3+y}{2} ला -2 वेळा गुणाकार करा.

$$-y-3+2y=8$$

-y ते 2y जोडा.

$$y-3=8$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 3 जोडा.

$$y=11$$

x=\frac{1}{2}y+\frac{3}{2} मध्ये y साठी 11 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{1}{2}\times 11+\frac{3}{2}$$

11 ला \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{11+3}{2}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{3}{2} ते \frac{11}{2} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=7$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=7,y=11$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$4x-2y=6,-2x+2y=8$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-\left(-2\left(-2\right)\right)}&-\frac{-2}{4\times 2-\left(-2\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{4\times 2-\left(-2\left(-2\right)\right)}&\frac{4}{4\times 2-\left(-2\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 6+\frac{1}{2}\times 8\\\frac{1}{2}\times 6+8\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=7,y=11$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$4x-2y=6,-2x+2y=8$$

4x आणि -2x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -2 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 4 ने गुणाकार करा.

$$-2\times 4x-2\left(-2\right)y=-2\times 6,4\left(-2\right)x+4\times 2y=4\times 8$$

सरलीकृत करा.

$$-8x+4y=-12,-8x+8y=32$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -8x+4y=-12 मधून -8x+8y=32 वजा करा.

$$-8x+8x+4y-8y=-12-32$$

-8x ते 8x जोडा. -8x आणि 8x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$4y-8y=-12-32$$

4y ते -8y जोडा.

$$-4y=-12-32$$

-12 ते -32 जोडा.

$$-4y=-44$$

दोन्ही बाजूंना -4 ने विभागा.

$$y=11$$

-2x+2y=8 मध्ये y साठी 11 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$-2x+2\times 11=8$$

11 ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$-2x+22=8$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 22 वजा करा.

$$-2x=-14$$

दोन्ही बाजूंना -2 ने विभागा.

$$x=7$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=7,y=11$$