{r}{3x-2y/3+4y=13/3}{2(-2y+x)/3-3x/2=-frac{13}{6}} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { r } { \frac { 3 x - 2 y } { 3 } + 4 y = \frac { 13 } { 3 } } \\ { \frac { 2 ( - 2 y + x ) } { 3 } - \frac { 3 x } { 2 } = - \frac { 13 } { 6 } } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=1$$

$$y=1$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 3 ने गुणाकार करा.

$$3x-2y+12y=13$$

10y मिळविण्यासाठी -2y आणि 12y एकत्र करा.

$$3x+10y=13$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 6 ने गुणाकार करा, 3,2,6 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$2\times 2\left(-2y+x\right)-3\times 3x=-13$$

4 मिळविण्यासाठी 2 आणि 2 चा गुणाकार करा.

$$4\left(-2y+x\right)-3\times 3x=-13$$

4 ला -2y+x ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$-8y+4x-3\times 3x=-13$$

-9 मिळविण्यासाठी -3 आणि 3 चा गुणाकार करा.

$$-8y+4x-9x=-13$$

-5x मिळविण्यासाठी 4x आणि -9x एकत्र करा.

$$-8y-5x=-13$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$3x+10y=13,-5x-8y=-13$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$3x+10y=13$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 10y वजा करा.

$$3x=-10y+13$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{3}\left(-10y+13\right)$$

-10y+13 ला \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{10}{3}y+\frac{13}{3}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-10y+13}{3} चा विकल्प वापरा, -5x-8y=-13.

$$-5\left(-\frac{10}{3}y+\frac{13}{3}\right)-8y=-13$$

\frac{-10y+13}{3} ला -5 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{50}{3}y-\frac{65}{3}-8y=-13$$

\frac{50y}{3} ते -8y जोडा.

$$\frac{26}{3}y-\frac{65}{3}=-13$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{65}{3} जोडा.

$$\frac{26}{3}y=\frac{26}{3}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{26}{3} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=1$$

x=-\frac{10}{3}y+\frac{13}{3} मध्ये y साठी 1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{-10+13}{3}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{13}{3} ते -\frac{10}{3} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=1$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=1,y=1$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 3 ने गुणाकार करा.

$$3x-2y+12y=13$$

10y मिळविण्यासाठी -2y आणि 12y एकत्र करा.

$$3x+10y=13$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 6 ने गुणाकार करा, 3,2,6 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$2\times 2\left(-2y+x\right)-3\times 3x=-13$$

4 मिळविण्यासाठी 2 आणि 2 चा गुणाकार करा.

$$4\left(-2y+x\right)-3\times 3x=-13$$

4 ला -2y+x ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$-8y+4x-3\times 3x=-13$$

-9 मिळविण्यासाठी -3 आणि 3 चा गुणाकार करा.

$$-8y+4x-9x=-13$$

-5x मिळविण्यासाठी 4x आणि -9x एकत्र करा.

$$-8y-5x=-13$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$3x+10y=13,-5x-8y=-13$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}3&10\\-5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-13\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}3&10\\-5&-8\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&10\\-5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-13\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-13\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-13\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{3\left(-8\right)-10\left(-5\right)}&-\frac{10}{3\left(-8\right)-10\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{3\left(-8\right)-10\left(-5\right)}&\frac{3}{3\left(-8\right)-10\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-13\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{13}&-\frac{5}{13}\\\frac{5}{26}&\frac{3}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-13\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{13}\times 13-\frac{5}{13}\left(-13\right)\\\frac{5}{26}\times 13+\frac{3}{26}\left(-13\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=1,y=1$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 3 ने गुणाकार करा.

$$3x-2y+12y=13$$

10y मिळविण्यासाठी -2y आणि 12y एकत्र करा.

$$3x+10y=13$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 6 ने गुणाकार करा, 3,2,6 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$2\times 2\left(-2y+x\right)-3\times 3x=-13$$

4 मिळविण्यासाठी 2 आणि 2 चा गुणाकार करा.

$$4\left(-2y+x\right)-3\times 3x=-13$$

4 ला -2y+x ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$-8y+4x-3\times 3x=-13$$

-9 मिळविण्यासाठी -3 आणि 3 चा गुणाकार करा.

$$-8y+4x-9x=-13$$

-5x मिळविण्यासाठी 4x आणि -9x एकत्र करा.

$$-8y-5x=-13$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$3x+10y=13,-5x-8y=-13$$

3x आणि -5x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -5 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने गुणाकार करा.

$$-5\times 3x-5\times 10y=-5\times 13,3\left(-5\right)x+3\left(-8\right)y=3\left(-13\right)$$

सरलीकृत करा.

$$-15x-50y=-65,-15x-24y=-39$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -15x-50y=-65 मधून -15x-24y=-39 वजा करा.

$$-15x+15x-50y+24y=-65+39$$

-15x ते 15x जोडा. -15x आणि 15x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-50y+24y=-65+39$$

-50y ते 24y जोडा.

$$-26y=-65+39$$

-65 ते 39 जोडा.

$$-26y=-26$$

दोन्ही बाजूंना -26 ने विभागा.

$$y=1$$

-5x-8y=-13 मध्ये y साठी 1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$-5x-8=-13$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 8 जोडा.

$$-5x=-5$$

दोन्ही बाजूंना -5 ने विभागा.

$$x=1$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=1,y=1$$