\left\{ \begin{array} { r } { \frac { 2 x - 1 } { 2 } + \frac { y - 3 } { 3 } = \frac { 11 } { 6 } } \\ { - \frac { 2 x } { 5 } + \frac { y - 1 } { 10 } = - \frac { 6 } { 5 } } \end{array} \right.
x, y साठी सोडवा
x=3
y=1
आलेख
शेअर करा
क्लिपबोर्डमध्ये प्रतिलिपी करण्यात आली
3\left(2x-1\right)+2\left(y-3\right)=11
पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 6 ने गुणाकार करा, 2,3,6 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.
6x-3+2\left(y-3\right)=11
3 ला 2x-1 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.
6x-3+2y-6=11
2 ला y-3 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.
6x-9+2y=11
-9 मिळविण्यासाठी -3 मधून 6 वजा करा.
6x+2y=11+9
दोन्ही बाजूंना 9 जोडा.
6x+2y=20
20 मिळविण्यासाठी 11 आणि 9 जोडा.
-2\times 2x+y-1=-12
दुसर्या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 10 ने गुणाकार करा, 5,10 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.
-4x+y-1=-12
-4 मिळविण्यासाठी -2 आणि 2 चा गुणाकार करा.
-4x+y=-12+1
दोन्ही बाजूंना 1 जोडा.
-4x+y=-11
-11 मिळविण्यासाठी -12 आणि 1 जोडा.
6x+2y=20,-4x+y=-11
विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.
6x+2y=20
समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.
6x=-2y+20
समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 2y वजा करा.
x=\frac{1}{6}\left(-2y+20\right)
दोन्ही बाजूंना 6 ने विभागा.
x=-\frac{1}{3}y+\frac{10}{3}
-2y+20 ला \frac{1}{6} वेळा गुणाकार करा.
-4\left(-\frac{1}{3}y+\frac{10}{3}\right)+y=-11
इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-y+10}{3} चा विकल्प वापरा, -4x+y=-11.
\frac{4}{3}y-\frac{40}{3}+y=-11
\frac{-y+10}{3} ला -4 वेळा गुणाकार करा.
\frac{7}{3}y-\frac{40}{3}=-11
\frac{4y}{3} ते y जोडा.
\frac{7}{3}y=\frac{7}{3}
समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{40}{3} जोडा.
y=1
समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{7}{3} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.
x=\frac{-1+10}{3}
x=-\frac{1}{3}y+\frac{10}{3} मध्ये y साठी 1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.
x=3
सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{10}{3} ते -\frac{1}{3} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.
x=3,y=1
सिस्टम आता सोडवली आहे.
3\left(2x-1\right)+2\left(y-3\right)=11
पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 6 ने गुणाकार करा, 2,3,6 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.
6x-3+2\left(y-3\right)=11
3 ला 2x-1 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.
6x-3+2y-6=11
2 ला y-3 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.
6x-9+2y=11
-9 मिळविण्यासाठी -3 मधून 6 वजा करा.
6x+2y=11+9
दोन्ही बाजूंना 9 जोडा.
6x+2y=20
20 मिळविण्यासाठी 11 आणि 9 जोडा.
-2\times 2x+y-1=-12
दुसर्या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 10 ने गुणाकार करा, 5,10 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.
-4x+y-1=-12
-4 मिळविण्यासाठी -2 आणि 2 चा गुणाकार करा.
-4x+y=-12+1
दोन्ही बाजूंना 1 जोडा.
-4x+y=-11
-11 मिळविण्यासाठी -12 आणि 1 जोडा.
6x+2y=20,-4x+y=-11
समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.
\left(\begin{matrix}6&2\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\-11\end{matrix}\right)
मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.
inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&2\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-11\end{matrix}\right)
समीकरणाला \left(\begin{matrix}6&2\\-4&1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-11\end{matrix}\right)
मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-11\end{matrix}\right)
समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6-2\left(-4\right)}&-\frac{2}{6-2\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{6-2\left(-4\right)}&\frac{6}{6-2\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-11\end{matrix}\right)
2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&-\frac{1}{7}\\\frac{2}{7}&\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-11\end{matrix}\right)
अंकगणित करा.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}\times 20-\frac{1}{7}\left(-11\right)\\\frac{2}{7}\times 20+\frac{3}{7}\left(-11\right)\end{matrix}\right)
मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)
अंकगणित करा.
x=3,y=1
मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.
3\left(2x-1\right)+2\left(y-3\right)=11
पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 6 ने गुणाकार करा, 2,3,6 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.
6x-3+2\left(y-3\right)=11
3 ला 2x-1 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.
6x-3+2y-6=11
2 ला y-3 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.
6x-9+2y=11
-9 मिळविण्यासाठी -3 मधून 6 वजा करा.
6x+2y=11+9
दोन्ही बाजूंना 9 जोडा.
6x+2y=20
20 मिळविण्यासाठी 11 आणि 9 जोडा.
-2\times 2x+y-1=-12
दुसर्या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 10 ने गुणाकार करा, 5,10 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.
-4x+y-1=-12
-4 मिळविण्यासाठी -2 आणि 2 चा गुणाकार करा.
-4x+y=-12+1
दोन्ही बाजूंना 1 जोडा.
-4x+y=-11
-11 मिळविण्यासाठी -12 आणि 1 जोडा.
6x+2y=20,-4x+y=-11
निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.
-4\times 6x-4\times 2y=-4\times 20,6\left(-4\right)x+6y=6\left(-11\right)
6x आणि -4x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -4 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 6 ने गुणाकार करा.
-24x-8y=-80,-24x+6y=-66
सरलीकृत करा.
-24x+24x-8y-6y=-80+66
समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -24x-8y=-80 मधून -24x+6y=-66 वजा करा.
-8y-6y=-80+66
-24x ते 24x जोडा. -24x आणि 24x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.
-14y=-80+66
-8y ते -6y जोडा.
-14y=-14
-80 ते 66 जोडा.
y=1
दोन्ही बाजूंना -14 ने विभागा.
-4x+1=-11
-4x+y=-11 मध्ये y साठी 1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.
-4x=-12
समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 1 वजा करा.
x=3
दोन्ही बाजूंना -4 ने विभागा.
x=3,y=1
सिस्टम आता सोडवली आहे.
उदाहरणे
क्वाड्रॅटिक समीकरण
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
त्रिकोणमिती
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
रेषीय समीकरण
y = 3x + 4
अंकगणित
699 * 533
मॅट्रिक्स
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
एकाच वेळी समीकरण
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
डिफ्रेन्शिएशन
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
इंटीग्रेशन
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
सीमा
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}