{l}{y=5x}{3(x+12)=y+12} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 5 x } \\ { 3 ( x + 12 ) = y + 12 } \end{array} \right.$$

y, x साठी सोडवा

$$x=12$$

$$y=60$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 5x वजा करा.

$$y-5x=0$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. 3 ला x+12 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$3x+36=y+12$$

दोन्ही बाजूंकडून y वजा करा.

$$3x+36-y=12$$

दोन्ही बाजूंकडून 36 वजा करा.

$$3x-y=12-36$$

-24 मिळविण्यासाठी 12 मधून 36 वजा करा.

$$3x-y=-24$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$y-5x=0,-y+3x=-24$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला y विलग करून, y साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$y-5x=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 5x जोडा.

$$y=5x$$

इतर समीकरणामध्ये y साठी 5x चा विकल्प वापरा, -y+3x=-24.

$$-5x+3x=-24$$

-5x ते 3x जोडा.

$$-2x=-24$$

दोन्ही बाजूंना -2 ने विभागा.

$$x=12$$

y=5x मध्ये x साठी 12 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$y=5\times 12$$

12 ला 5 वेळा गुणाकार करा.

$$y=60$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=60,x=12$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 5x वजा करा.

$$y-5x=0$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. 3 ला x+12 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$3x+36=y+12$$

दोन्ही बाजूंकडून y वजा करा.

$$3x+36-y=12$$

दोन्ही बाजूंकडून 36 वजा करा.

$$3x-y=12-36$$

-24 मिळविण्यासाठी 12 मधून 36 वजा करा.

$$3x-y=-24$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$y-5x=0,-y+3x=-24$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&-5\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-24\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&-5\\-1&3\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-5\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-24\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-24\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-24\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-5\left(-1\right)\right)}&-\frac{-5}{3-\left(-5\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{3-\left(-5\left(-1\right)\right)}&\frac{1}{3-\left(-5\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-24\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2}&-\frac{5}{2}\\-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-24\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\left(-24\right)\\-\frac{1}{2}\left(-24\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}60\\12\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे y आणि x घटक बाहेर काढा.

$$y=60,x=12$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 5x वजा करा.

$$y-5x=0$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. 3 ला x+12 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$3x+36=y+12$$

दोन्ही बाजूंकडून y वजा करा.

$$3x+36-y=12$$

दोन्ही बाजूंकडून 36 वजा करा.

$$3x-y=12-36$$

-24 मिळविण्यासाठी 12 मधून 36 वजा करा.

$$3x-y=-24$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$y-5x=0,-y+3x=-24$$

y आणि -y समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -1 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने गुणाकार करा.

$$-y-\left(-5x\right)=0,-y+3x=-24$$

सरलीकृत करा.

$$-y+5x=0,-y+3x=-24$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -y+5x=0 मधून -y+3x=-24 वजा करा.

$$-y+y+5x-3x=24$$

-y ते y जोडा. -y आणि y रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$5x-3x=24$$

5x ते -3x जोडा.

$$2x=24$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=12$$

-y+3x=-24 मध्ये x साठी 12 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$-y+3\times 12=-24$$

12 ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$-y+36=-24$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 36 वजा करा.

$$-y=-60$$

दोन्ही बाजूंना -1 ने विभागा.

$$y=60$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=60,x=12$$