{l}{y=4x+5}{y=8x+9} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 4 x + 5 } \\ { y = 8 x + 9 } \end{array} \right.$$

y, x साठी सोडवा

$$x=-1$$

$$y=1$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 4x वजा करा.

$$y-4x=5$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 8x वजा करा.

$$y-8x=9$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$y-4x=5,y-8x=9$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला y विलग करून, y साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$y-4x=5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 4x जोडा.

$$y=4x+5$$

इतर समीकरणामध्ये y साठी 4x+5 चा विकल्प वापरा, y-8x=9.

$$4x+5-8x=9$$

4x ते -8x जोडा.

$$-4x+5=9$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 5 वजा करा.

$$-4x=4$$

दोन्ही बाजूंना -4 ने विभागा.

$$x=-1$$

y=4x+5 मध्ये x साठी -1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$y=4\left(-1\right)+5$$

-1 ला 4 वेळा गुणाकार करा.

$$y=-4+5$$

5 ते -4 जोडा.

$$y=1$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=1,x=-1$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 4x वजा करा.

$$y-4x=5$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 8x वजा करा.

$$y-8x=9$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$y-4x=5,y-8x=9$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\9\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&-4\\1&-8\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\9\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\9\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{-8-\left(-4\right)}&-\frac{-4}{-8-\left(-4\right)}\\-\frac{1}{-8-\left(-4\right)}&\frac{1}{-8-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\9\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-1\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\9\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 5-9\\\frac{1}{4}\times 5-\frac{1}{4}\times 9\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे y आणि x घटक बाहेर काढा.

$$y=1,x=-1$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 4x वजा करा.

$$y-4x=5$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 8x वजा करा.

$$y-8x=9$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$y-4x=5,y-8x=9$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून y-4x=5 मधून y-8x=9 वजा करा.

$$y-y-4x+8x=5-9$$

y ते -y जोडा. y आणि -y रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-4x+8x=5-9$$

-4x ते 8x जोडा.

$$4x=5-9$$

5 ते -9 जोडा.

$$4x=-4$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$x=-1$$

y-8x=9 मध्ये x साठी -1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$y-8\left(-1\right)=9$$

-1 ला -8 वेळा गुणाकार करा.

$$y+8=9$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 8 वजा करा.

$$y=1$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=1,x=-1$$