{l}{y=4x+5}{4x-3y=3} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 4 x + 5 } \\ { 4 x - 3 y = 3 } \end{array} \right.$$

y, x साठी सोडवा

$$x = -\frac{9}{4} = -2\frac{1}{4} = -2.25$$

$$y=-4$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 4x वजा करा.

$$y-4x=5$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$y-4x=5,-3y+4x=3$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला y विलग करून, y साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$y-4x=5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 4x जोडा.

$$y=4x+5$$

इतर समीकरणामध्ये y साठी 4x+5 चा विकल्प वापरा, -3y+4x=3.

$$-3\left(4x+5\right)+4x=3$$

4x+5 ला -3 वेळा गुणाकार करा.

$$-12x-15+4x=3$$

-12x ते 4x जोडा.

$$-8x-15=3$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 15 जोडा.

$$-8x=18$$

दोन्ही बाजूंना -8 ने विभागा.

$$x=-\frac{9}{4}$$

y=4x+5 मध्ये x साठी -\frac{9}{4} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$y=4\left(-\frac{9}{4}\right)+5$$

-\frac{9}{4} ला 4 वेळा गुणाकार करा.

$$y=-9+5$$

5 ते -9 जोडा.

$$y=-4$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=-4,x=-\frac{9}{4}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 4x वजा करा.

$$y-4x=5$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$y-4x=5,-3y+4x=3$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-\left(-4\left(-3\right)\right)}&-\frac{-4}{4-\left(-4\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{4-\left(-4\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{4-\left(-4\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 5-\frac{1}{2}\times 3\\-\frac{3}{8}\times 5-\frac{1}{8}\times 3\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-\frac{9}{4}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे y आणि x घटक बाहेर काढा.

$$y=-4,x=-\frac{9}{4}$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 4x वजा करा.

$$y-4x=5$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$y-4x=5,-3y+4x=3$$

y आणि -3y समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -3 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने गुणाकार करा.

$$-3y-3\left(-4\right)x=-3\times 5,-3y+4x=3$$

सरलीकृत करा.

$$-3y+12x=-15,-3y+4x=3$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -3y+12x=-15 मधून -3y+4x=3 वजा करा.

$$-3y+3y+12x-4x=-15-3$$

-3y ते 3y जोडा. -3y आणि 3y रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$12x-4x=-15-3$$

12x ते -4x जोडा.

$$8x=-15-3$$

-15 ते -3 जोडा.

$$8x=-18$$

दोन्ही बाजूंना 8 ने विभागा.

$$x=-\frac{9}{4}$$

-3y+4x=3 मध्ये x साठी -\frac{9}{4} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$-3y+4\left(-\frac{9}{4}\right)=3$$

-\frac{9}{4} ला 4 वेळा गुणाकार करा.

$$-3y-9=3$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 9 जोडा.

$$-3y=12$$

दोन्ही बाजूंना -3 ने विभागा.

$$y=-4$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=-4,x=-\frac{9}{4}$$