{l}{y=3x-5}{y=x+3} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 3 x - 5 } \\ { y = x + 3 } \end{array} \right.$$

y, x साठी सोडवा

$$x=4$$

$$y=7$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 3x वजा करा.

$$y-3x=-5$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून x वजा करा.

$$y-x=3$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$y-3x=-5,y-x=3$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला y विलग करून, y साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$y-3x=-5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 3x जोडा.

$$y=3x-5$$

इतर समीकरणामध्ये y साठी 3x-5 चा विकल्प वापरा, y-x=3.

$$3x-5-x=3$$

3x ते -x जोडा.

$$2x-5=3$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 5 जोडा.

$$2x=8$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=4$$

y=3x-5 मध्ये x साठी 4 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$y=3\times 4-5$$

4 ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$y=12-5$$

-5 ते 12 जोडा.

$$y=7$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=7,x=4$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 3x वजा करा.

$$y-3x=-5$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून x वजा करा.

$$y-x=3$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$y-3x=-5,y-x=3$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\3\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&-3\\1&-1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\3\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{-1-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{-1-\left(-3\right)}&\frac{1}{-1-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\3\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\left(-5\right)+\frac{3}{2}\times 3\\-\frac{1}{2}\left(-5\right)+\frac{1}{2}\times 3\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे y आणि x घटक बाहेर काढा.

$$y=7,x=4$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 3x वजा करा.

$$y-3x=-5$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून x वजा करा.

$$y-x=3$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$y-3x=-5,y-x=3$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून y-3x=-5 मधून y-x=3 वजा करा.

$$y-y-3x+x=-5-3$$

y ते -y जोडा. y आणि -y रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-3x+x=-5-3$$

-3x ते x जोडा.

$$-2x=-5-3$$

-5 ते -3 जोडा.

$$-2x=-8$$

दोन्ही बाजूंना -2 ने विभागा.

$$x=4$$

y-x=3 मध्ये x साठी 4 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$y-4=3$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 4 जोडा.

$$y=7$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=7,x=4$$