{l}{y=2x}{x+3y=14} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 2 x } \\ { x + 3 y = 14 } \end{array} \right.$$

y, x साठी सोडवा

$$x=2$$

$$y=4$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 2x वजा करा.

$$y-2x=0$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$y-2x=0,3y+x=14$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला y विलग करून, y साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$y-2x=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 2x जोडा.

$$y=2x$$

इतर समीकरणामध्ये y साठी 2x चा विकल्प वापरा, 3y+x=14.

$$3\times 2x+x=14$$

2x ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$6x+x=14$$

6x ते x जोडा.

$$7x=14$$

दोन्ही बाजूंना 7 ने विभागा.

$$x=2$$

y=2x मध्ये x साठी 2 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$y=2\times 2$$

2 ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$y=4$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=4,x=2$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 2x वजा करा.

$$y-2x=0$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$y-2x=0,3y+x=14$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\14\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&-2\\3&1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\14\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\14\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{1-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{1-\left(-2\times 3\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\14\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\\-\frac{3}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\14\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 14\\\frac{1}{7}\times 14\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे y आणि x घटक बाहेर काढा.

$$y=4,x=2$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 2x वजा करा.

$$y-2x=0$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$y-2x=0,3y+x=14$$

y आणि 3y समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने गुणाकार करा.

$$3y+3\left(-2\right)x=0,3y+x=14$$

सरलीकृत करा.

$$3y-6x=0,3y+x=14$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 3y-6x=0 मधून 3y+x=14 वजा करा.

$$3y-3y-6x-x=-14$$

3y ते -3y जोडा. 3y आणि -3y रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-6x-x=-14$$

-6x ते -x जोडा.

$$-7x=-14$$

दोन्ही बाजूंना -7 ने विभागा.

$$x=2$$

3y+x=14 मध्ये x साठी 2 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$3y+2=14$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 2 वजा करा.

$$3y=12$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$y=4$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=4,x=2$$