{l}{y=-4/6x-5}{8x+5y=-45} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = - \frac { 4 } { 6 } x - 5 } \\ { 8 x + 5 y = - 45 } \end{array} \right.$$

y, x साठी सोडवा

$$x = -\frac{30}{7} = -4\frac{2}{7} \approx -4.285714286$$

$$y = -\frac{15}{7} = -2\frac{1}{7} \approx -2.142857143$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. 2 एक्स्ट्रॅक्ट आणि रद्द करून \frac{4}{6} अंश निम्नतम टर्म्सला कमी करा.

$$y=-\frac{2}{3}x-5$$

इतर समीकरणामध्ये y साठी -\frac{2x}{3}-5 चा विकल्प वापरा, 5y+8x=-45.

$$5\left(-\frac{2}{3}x-5\right)+8x=-45$$

-\frac{2x}{3}-5 ला 5 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{10}{3}x-25+8x=-45$$

-\frac{10x}{3} ते 8x जोडा.

$$\frac{14}{3}x-25=-45$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 25 जोडा.

$$\frac{14}{3}x=-20$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{14}{3} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$x=-\frac{30}{7}$$

y=-\frac{2}{3}x-5 मध्ये x साठी -\frac{30}{7} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$y=-\frac{2}{3}\left(-\frac{30}{7}\right)-5$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून -\frac{30}{7} चा -\frac{2}{3} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$y=\frac{20}{7}-5$$

-5 ते \frac{20}{7} जोडा.

$$y=-\frac{15}{7}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=-\frac{15}{7},x=-\frac{30}{7}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. 2 एक्स्ट्रॅक्ट आणि रद्द करून \frac{4}{6} अंश निम्नतम टर्म्सला कमी करा.

$$y=-\frac{2}{3}x-5$$

दोन्ही बाजूंना \frac{2}{3}x जोडा.

$$y+\frac{2}{3}x=-5$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$y+\frac{2}{3}x=-5,5y+8x=-45$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{8-\frac{2}{3}\times 5}&-\frac{\frac{2}{3}}{8-\frac{2}{3}\times 5}\\-\frac{5}{8-\frac{2}{3}\times 5}&\frac{1}{8-\frac{2}{3}\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{15}{14}&\frac{3}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{7}\left(-5\right)-\frac{1}{7}\left(-45\right)\\-\frac{15}{14}\left(-5\right)+\frac{3}{14}\left(-45\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{7}\\-\frac{30}{7}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे y आणि x घटक बाहेर काढा.

$$y=-\frac{15}{7},x=-\frac{30}{7}$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. 2 एक्स्ट्रॅक्ट आणि रद्द करून \frac{4}{6} अंश निम्नतम टर्म्सला कमी करा.

$$y=-\frac{2}{3}x-5$$

दोन्ही बाजूंना \frac{2}{3}x जोडा.

$$y+\frac{2}{3}x=-5$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$y+\frac{2}{3}x=-5,5y+8x=-45$$

y आणि 5y समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 5 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने गुणाकार करा.

$$5y+5\times \frac{2}{3}x=5\left(-5\right),5y+8x=-45$$

सरलीकृत करा.

$$5y+\frac{10}{3}x=-25,5y+8x=-45$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 5y+\frac{10}{3}x=-25 मधून 5y+8x=-45 वजा करा.

$$5y-5y+\frac{10}{3}x-8x=-25+45$$

5y ते -5y जोडा. 5y आणि -5y रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$\frac{10}{3}x-8x=-25+45$$

\frac{10x}{3} ते -8x जोडा.

$$-\frac{14}{3}x=-25+45$$

-25 ते 45 जोडा.

$$-\frac{14}{3}x=20$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{14}{3} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$x=-\frac{30}{7}$$

5y+8x=-45 मध्ये x साठी -\frac{30}{7} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$5y+8\left(-\frac{30}{7}\right)=-45$$

-\frac{30}{7} ला 8 वेळा गुणाकार करा.

$$5y-\frac{240}{7}=-45$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{240}{7} जोडा.

$$5y=-\frac{75}{7}$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$y=-\frac{15}{7}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=-\frac{15}{7},x=-\frac{30}{7}$$