{l}{y=3/2x+5/2}{y=-2/3x+14/3} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = \frac { 3 } { 2 } x + \frac { 5 } { 2 } } \\ { y = - \frac { 2 } { 3 } x + \frac { 14 } { 3 } } \end{array} \right.$$

y, x साठी सोडवा

$$x=1$$

$$y=4$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून \frac{3}{2}x वजा करा.

$$y-\frac{3}{2}x=\frac{5}{2}$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना \frac{2}{3}x जोडा.

$$y+\frac{2}{3}x=\frac{14}{3}$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$y-\frac{3}{2}x=\frac{5}{2},y+\frac{2}{3}x=\frac{14}{3}$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला y विलग करून, y साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$y-\frac{3}{2}x=\frac{5}{2}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{3x}{2} जोडा.

$$y=\frac{3}{2}x+\frac{5}{2}$$

इतर समीकरणामध्ये y साठी \frac{3x+5}{2} चा विकल्प वापरा, y+\frac{2}{3}x=\frac{14}{3}.

$$\frac{3}{2}x+\frac{5}{2}+\frac{2}{3}x=\frac{14}{3}$$

\frac{3x}{2} ते \frac{2x}{3} जोडा.

$$\frac{13}{6}x+\frac{5}{2}=\frac{14}{3}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{5}{2} वजा करा.

$$\frac{13}{6}x=\frac{13}{6}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{13}{6} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$x=1$$

y=\frac{3}{2}x+\frac{5}{2} मध्ये x साठी 1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$y=\frac{3+5}{2}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{5}{2} ते \frac{3}{2} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$y=4$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=4,x=1$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून \frac{3}{2}x वजा करा.

$$y-\frac{3}{2}x=\frac{5}{2}$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना \frac{2}{3}x जोडा.

$$y+\frac{2}{3}x=\frac{14}{3}$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$y-\frac{3}{2}x=\frac{5}{2},y+\frac{2}{3}x=\frac{14}{3}$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{2}\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\\frac{14}{3}\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{2}\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{2}\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{2}\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{2}\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\\frac{14}{3}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{2}\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\\frac{14}{3}\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{2}\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\\frac{14}{3}\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हे उलटे मॅट्रिक्स आहे, ज्यामुळे मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हणून पुन्हा लिहीली जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{2}\right)}&-\frac{-\frac{3}{2}}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{2}\right)}\\-\frac{1}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{2}\right)}&\frac{1}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{2}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\\frac{14}{3}\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{13}&\frac{9}{13}\\-\frac{6}{13}&\frac{6}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\\frac{14}{3}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{13}\times \frac{5}{2}+\frac{9}{13}\times \frac{14}{3}\\-\frac{6}{13}\times \frac{5}{2}+\frac{6}{13}\times \frac{14}{3}\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे y आणि x घटक बाहेर काढा.

$$y=4,x=1$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून \frac{3}{2}x वजा करा.

$$y-\frac{3}{2}x=\frac{5}{2}$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना \frac{2}{3}x जोडा.

$$y+\frac{2}{3}x=\frac{14}{3}$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$y-\frac{3}{2}x=\frac{5}{2},y+\frac{2}{3}x=\frac{14}{3}$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून y-\frac{3}{2}x=\frac{5}{2} मधून y+\frac{2}{3}x=\frac{14}{3} वजा करा.

$$y-y-\frac{3}{2}x-\frac{2}{3}x=\frac{5}{2}-\frac{14}{3}$$

y ते -y जोडा. y आणि -y रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-\frac{3}{2}x-\frac{2}{3}x=\frac{5}{2}-\frac{14}{3}$$

-\frac{3x}{2} ते -\frac{2x}{3} जोडा.

$$-\frac{13}{6}x=\frac{5}{2}-\frac{14}{3}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{5}{2} ते -\frac{14}{3} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$-\frac{13}{6}x=-\frac{13}{6}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{13}{6} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$x=1$$

y+\frac{2}{3}x=\frac{14}{3} मध्ये x साठी 1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$y+\frac{2}{3}=\frac{14}{3}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{2}{3} वजा करा.

$$y=4$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=4,x=1$$