{l}{y=-4/5x-9}{y=-8x/3-15} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = \frac { - 4 } { 5 } x - 9 } \\ { y = - \frac { 8 x } { 3 } - 15 } \end{array} \right.$$

y, x साठी सोडवा

$$x = -\frac{45}{14} = -3\frac{3}{14} \approx -3.214285714$$

$$y = -\frac{45}{7} = -6\frac{3}{7} \approx -6.428571429$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. अपूर्णांक \frac{-4}{5} नकारात्मक चिन्ह वगळून -\frac{4}{5} म्हणून पुन्हा लिहू शकतात.

$$y=-\frac{4}{5}x-9$$

इतर समीकरणामध्ये y साठी -\frac{4x}{5}-9 चा विकल्प वापरा, 3y+8x=-45.

$$3\left(-\frac{4}{5}x-9\right)+8x=-45$$

-\frac{4x}{5}-9 ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{12}{5}x-27+8x=-45$$

-\frac{12x}{5} ते 8x जोडा.

$$\frac{28}{5}x-27=-45$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 27 जोडा.

$$\frac{28}{5}x=-18$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{28}{5} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$x=-\frac{45}{14}$$

y=-\frac{4}{5}x-9 मध्ये x साठी -\frac{45}{14} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$y=-\frac{4}{5}\left(-\frac{45}{14}\right)-9$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून -\frac{45}{14} चा -\frac{4}{5} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$y=\frac{18}{7}-9$$

-9 ते \frac{18}{7} जोडा.

$$y=-\frac{45}{7}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=-\frac{45}{7},x=-\frac{45}{14}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. अपूर्णांक \frac{-4}{5} नकारात्मक चिन्ह वगळून -\frac{4}{5} म्हणून पुन्हा लिहू शकतात.

$$y=-\frac{4}{5}x-9$$

दोन्ही बाजूंना \frac{4}{5}x जोडा.

$$y+\frac{4}{5}x=-9$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना \frac{8x}{3} जोडा.

$$y+\frac{8x}{3}=-15$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 3 ने गुणाकार करा.

$$3y+8x=-45$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$y+\frac{4}{5}x=-9,3y+8x=-45$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{8-\frac{4}{5}\times 3}&-\frac{\frac{4}{5}}{8-\frac{4}{5}\times 3}\\-\frac{3}{8-\frac{4}{5}\times 3}&\frac{1}{8-\frac{4}{5}\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{15}{28}&\frac{5}{28}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{7}\left(-9\right)-\frac{1}{7}\left(-45\right)\\-\frac{15}{28}\left(-9\right)+\frac{5}{28}\left(-45\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{45}{7}\\-\frac{45}{14}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे y आणि x घटक बाहेर काढा.

$$y=-\frac{45}{7},x=-\frac{45}{14}$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. अपूर्णांक \frac{-4}{5} नकारात्मक चिन्ह वगळून -\frac{4}{5} म्हणून पुन्हा लिहू शकतात.

$$y=-\frac{4}{5}x-9$$

दोन्ही बाजूंना \frac{4}{5}x जोडा.

$$y+\frac{4}{5}x=-9$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना \frac{8x}{3} जोडा.

$$y+\frac{8x}{3}=-15$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 3 ने गुणाकार करा.

$$3y+8x=-45$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$y+\frac{4}{5}x=-9,3y+8x=-45$$

y आणि 3y समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने गुणाकार करा.

$$3y+3\times \frac{4}{5}x=3\left(-9\right),3y+8x=-45$$

सरलीकृत करा.

$$3y+\frac{12}{5}x=-27,3y+8x=-45$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 3y+\frac{12}{5}x=-27 मधून 3y+8x=-45 वजा करा.

$$3y-3y+\frac{12}{5}x-8x=-27+45$$

3y ते -3y जोडा. 3y आणि -3y रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$\frac{12}{5}x-8x=-27+45$$

\frac{12x}{5} ते -8x जोडा.

$$-\frac{28}{5}x=-27+45$$

-27 ते 45 जोडा.

$$-\frac{28}{5}x=18$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{28}{5} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$x=-\frac{45}{14}$$

3y+8x=-45 मध्ये x साठी -\frac{45}{14} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$3y+8\left(-\frac{45}{14}\right)=-45$$

-\frac{45}{14} ला 8 वेळा गुणाकार करा.

$$3y-\frac{180}{7}=-45$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{180}{7} जोडा.

$$3y=-\frac{135}{7}$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$y=-\frac{45}{7}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=-\frac{45}{7},x=-\frac{45}{14}$$