{l}{y+25=3x}{x+75=3y} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { y + 25 = 3 x } \\ { x + 75 = 3 y } \end{array} \right.$$

y, x साठी सोडवा

$$x = \frac{75}{4} = 18\frac{3}{4} = 18.75$$

$$y = \frac{125}{4} = 31\frac{1}{4} = 31.25$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 3x वजा करा.

$$y+25-3x=0$$

दोन्ही बाजूंकडून 25 वजा करा. कोणत्याही संख्येला शून्यातून वजा केल्यास ऋण संख्या मिळते.

$$y-3x=-25$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 3y वजा करा.

$$x+75-3y=0$$

दोन्ही बाजूंकडून 75 वजा करा. कोणत्याही संख्येला शून्यातून वजा केल्यास ऋण संख्या मिळते.

$$x-3y=-75$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$y-3x=-25,-3y+x=-75$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला y विलग करून, y साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$y-3x=-25$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 3x जोडा.

$$y=3x-25$$

इतर समीकरणामध्ये y साठी 3x-25 चा विकल्प वापरा, -3y+x=-75.

$$-3\left(3x-25\right)+x=-75$$

3x-25 ला -3 वेळा गुणाकार करा.

$$-9x+75+x=-75$$

-9x ते x जोडा.

$$-8x+75=-75$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 75 वजा करा.

$$-8x=-150$$

दोन्ही बाजूंना -8 ने विभागा.

$$x=\frac{75}{4}$$

y=3x-25 मध्ये x साठी \frac{75}{4} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$y=3\times \frac{75}{4}-25$$

\frac{75}{4} ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$y=\frac{225}{4}-25$$

-25 ते \frac{225}{4} जोडा.

$$y=\frac{125}{4}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=\frac{125}{4},x=\frac{75}{4}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 3x वजा करा.

$$y+25-3x=0$$

दोन्ही बाजूंकडून 25 वजा करा. कोणत्याही संख्येला शून्यातून वजा केल्यास ऋण संख्या मिळते.

$$y-3x=-25$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 3y वजा करा.

$$x+75-3y=0$$

दोन्ही बाजूंकडून 75 वजा करा. कोणत्याही संख्येला शून्यातून वजा केल्यास ऋण संख्या मिळते.

$$x-3y=-75$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$y-3x=-25,-3y+x=-75$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-25\\-75\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&-3\\-3&1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-25\\-75\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-25\\-75\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-25\\-75\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-3\left(-3\right)\right)}&-\frac{-3}{1-\left(-3\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{1-\left(-3\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-3\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-25\\-75\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{8}&-\frac{3}{8}\\-\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-25\\-75\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{8}\left(-25\right)-\frac{3}{8}\left(-75\right)\\-\frac{3}{8}\left(-25\right)-\frac{1}{8}\left(-75\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{125}{4}\\\frac{75}{4}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे y आणि x घटक बाहेर काढा.

$$y=\frac{125}{4},x=\frac{75}{4}$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 3x वजा करा.

$$y+25-3x=0$$

दोन्ही बाजूंकडून 25 वजा करा. कोणत्याही संख्येला शून्यातून वजा केल्यास ऋण संख्या मिळते.

$$y-3x=-25$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 3y वजा करा.

$$x+75-3y=0$$

दोन्ही बाजूंकडून 75 वजा करा. कोणत्याही संख्येला शून्यातून वजा केल्यास ऋण संख्या मिळते.

$$x-3y=-75$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$y-3x=-25,-3y+x=-75$$

y आणि -3y समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -3 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने गुणाकार करा.

$$-3y-3\left(-3\right)x=-3\left(-25\right),-3y+x=-75$$

सरलीकृत करा.

$$-3y+9x=75,-3y+x=-75$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -3y+9x=75 मधून -3y+x=-75 वजा करा.

$$-3y+3y+9x-x=75+75$$

-3y ते 3y जोडा. -3y आणि 3y रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$9x-x=75+75$$

9x ते -x जोडा.

$$8x=75+75$$

75 ते 75 जोडा.

$$8x=150$$

दोन्ही बाजूंना 8 ने विभागा.

$$x=\frac{75}{4}$$

-3y+x=-75 मध्ये x साठी \frac{75}{4} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$-3y+\frac{75}{4}=-75$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{75}{4} वजा करा.

$$-3y=-\frac{375}{4}$$

दोन्ही बाजूंना -3 ने विभागा.

$$y=\frac{125}{4}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=\frac{125}{4},x=\frac{75}{4}$$