{l}{x_{1}+x_{2}=97}{frac{x_{2}}{x_{1}}=2} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { x _ { 1 } + x _ { 2 } = 97 } \\ { \frac { x _ { 2 } } { x _ { 1 } } = 2 } \end{array} \right.$$

x_1, x_2 साठी सोडवा

$$x_{1} = \frac{97}{3} = 32\frac{1}{3} \approx 32.333333333$$

$$x_{2} = \frac{194}{3} = 64\frac{2}{3} \approx 64.666666667$$

विकल्प वापरून चरणे

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. शून्याने भागाकार करणे परिभाषित नसल्याने चल x_{1} हे 0 च्या समान असता कामा नये. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना x_{1} ने गुणाकार करा.

$$x_{2}=2x_{1}$$

दोन्ही बाजूंकडून 2x_{1} वजा करा.

$$x_{2}-2x_{1}=0$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$x_{1}+x_{2}=97,-2x_{1}+x_{2}=0$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x_{1} विलग करून, x_{1} साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$x_{1}+x_{2}=97$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून x_{2} वजा करा.

$$x_{1}=-x_{2}+97$$

इतर समीकरणामध्ये x_{1} साठी -x_{2}+97 चा विकल्प वापरा, -2x_{1}+x_{2}=0.

$$-2\left(-x_{2}+97\right)+x_{2}=0$$

-x_{2}+97 ला -2 वेळा गुणाकार करा.

$$2x_{2}-194+x_{2}=0$$

2x_{2} ते x_{2} जोडा.

$$3x_{2}-194=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 194 जोडा.

$$3x_{2}=194$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x_{2}=\frac{194}{3}$$

x_{1}=-x_{2}+97 मध्ये x_{2} साठी \frac{194}{3} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x_{1} साठी थेट सोडवू शकता.

$$x_{1}=-\frac{194}{3}+97$$

97 ते -\frac{194}{3} जोडा.

$$x_{1}=\frac{97}{3}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x_{1}=\frac{97}{3},x_{2}=\frac{194}{3}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. शून्याने भागाकार करणे परिभाषित नसल्याने चल x_{1} हे 0 च्या समान असता कामा नये. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना x_{1} ने गुणाकार करा.

$$x_{2}=2x_{1}$$

दोन्ही बाजूंकडून 2x_{1} वजा करा.

$$x_{2}-2x_{1}=0$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$x_{1}+x_{2}=97,-2x_{1}+x_{2}=0$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\right)}&-\frac{1}{1-\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{1-\left(-2\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 97\\\frac{2}{3}\times 97\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{97}{3}\\\frac{194}{3}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x_{1} आणि x_{2} घटक बाहेर काढा.

$$x_{1}=\frac{97}{3},x_{2}=\frac{194}{3}$$

निष्कासन वापरून चरणे

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. शून्याने भागाकार करणे परिभाषित नसल्याने चल x_{1} हे 0 च्या समान असता कामा नये. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना x_{1} ने गुणाकार करा.

$$x_{2}=2x_{1}$$

दोन्ही बाजूंकडून 2x_{1} वजा करा.

$$x_{2}-2x_{1}=0$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$x_{1}+x_{2}=97,-2x_{1}+x_{2}=0$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून x_{1}+x_{2}=97 मधून -2x_{1}+x_{2}=0 वजा करा.

$$x_{1}+2x_{1}+x_{2}-x_{2}=97$$

x_{2} ते -x_{2} जोडा. x_{2} आणि -x_{2} रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$x_{1}+2x_{1}=97$$

x_{1} ते 2x_{1} जोडा.

$$3x_{1}=97$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x_{1}=\frac{97}{3}$$

-2x_{1}+x_{2}=0 मध्ये x_{1} साठी \frac{97}{3} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x_{2} साठी थेट सोडवू शकता.

$$-2\times \frac{97}{3}+x_{2}=0$$

\frac{97}{3} ला -2 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{194}{3}+x_{2}=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{194}{3} जोडा.

$$x_{2}=\frac{194}{3}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x_{1}=\frac{97}{3},x_{2}=\frac{194}{3}$$