{l}{x-y=3}{3x-4y=2} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = 3 } \\ { 3 x - 4 y = 2 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=10$$

$$y=7$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$x-y=3,3x-4y=2$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$x-y=3$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस y जोडा.

$$x=y+3$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी y+3 चा विकल्प वापरा, 3x-4y=2.

$$3\left(y+3\right)-4y=2$$

y+3 ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$3y+9-4y=2$$

3y ते -4y जोडा.

$$-y+9=2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 9 वजा करा.

$$-y=-7$$

दोन्ही बाजूंना -1 ने विभागा.

$$y=7$$

x=y+3 मध्ये y साठी 7 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=7+3$$

3 ते 7 जोडा.

$$x=10$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=10,y=7$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$x-y=3,3x-4y=2$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&-1\\3&-4\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{-4-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{-4-\left(-3\right)}&\frac{1}{-4-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4&-1\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\times 3-2\\3\times 3-2\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=10,y=7$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$x-y=3,3x-4y=2$$

x आणि 3x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने गुणाकार करा.

$$3x+3\left(-1\right)y=3\times 3,3x-4y=2$$

सरलीकृत करा.

$$3x-3y=9,3x-4y=2$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 3x-3y=9 मधून 3x-4y=2 वजा करा.

$$3x-3x-3y+4y=9-2$$

3x ते -3x जोडा. 3x आणि -3x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-3y+4y=9-2$$

-3y ते 4y जोडा.

$$y=9-2$$

9 ते -2 जोडा.

$$y=7$$

3x-4y=2 मध्ये y साठी 7 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$3x-4\times 7=2$$

7 ला -4 वेळा गुणाकार करा.

$$3x-28=2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 28 जोडा.

$$3x=30$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=10$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=10,y=7$$