{l}{x-y=10}{2x+(2y+1/2)=200} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = 10 } \\ { 2 x + ( 2 y + \frac { 1 } { 2 } ) = 200 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = \frac{439}{8} = 54\frac{7}{8} = 54.875$$

$$y = \frac{359}{8} = 44\frac{7}{8} = 44.875$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$x-y=10,2x+2y+\frac{1}{2}=200$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$x-y=10$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस y जोडा.

$$x=y+10$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी y+10 चा विकल्प वापरा, 2x+2y+\frac{1}{2}=200.

$$2\left(y+10\right)+2y+\frac{1}{2}=200$$

y+10 ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$2y+20+2y+\frac{1}{2}=200$$

2y ते 2y जोडा.

$$4y+20+\frac{1}{2}=200$$

20 ते \frac{1}{2} जोडा.

$$4y+\frac{41}{2}=200$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{41}{2} वजा करा.

$$4y=\frac{359}{2}$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$y=\frac{359}{8}$$

x=y+10 मध्ये y साठी \frac{359}{8} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{359}{8}+10$$

10 ते \frac{359}{8} जोडा.

$$x=\frac{439}{8}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{439}{8},y=\frac{359}{8}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$x-y=10,2x+2y+\frac{1}{2}=200$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{2-\left(-2\right)}&\frac{1}{2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 10+\frac{1}{4}\times \frac{399}{2}\\-\frac{1}{2}\times 10+\frac{1}{4}\times \frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{439}{8}\\\frac{359}{8}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{439}{8},y=\frac{359}{8}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$x-y=10,2x+2y+\frac{1}{2}=200$$

x आणि 2x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने गुणाकार करा.

$$2x+2\left(-1\right)y=2\times 10,2x+2y+\frac{1}{2}=200$$

सरलीकृत करा.

$$2x-2y=20,2x+2y+\frac{1}{2}=200$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 2x-2y=20 मधून 2x+2y+\frac{1}{2}=200 वजा करा.

$$2x-2x-2y-2y-\frac{1}{2}=20-200$$

2x ते -2x जोडा. 2x आणि -2x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-2y-2y-\frac{1}{2}=20-200$$

-2y ते -2y जोडा.

$$-4y-\frac{1}{2}=20-200$$

20 ते -200 जोडा.

$$-4y-\frac{1}{2}=-180$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{1}{2} जोडा.

$$-4y=-\frac{359}{2}$$

दोन्ही बाजूंना -4 ने विभागा.

$$y=\frac{359}{8}$$

2x+2y+\frac{1}{2}=200 मध्ये y साठी \frac{359}{8} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$2x+2\times \frac{359}{8}+\frac{1}{2}=200$$

\frac{359}{8} ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$2x+\frac{359}{4}+\frac{1}{2}=200$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{359}{4} ते \frac{1}{2} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$2x+\frac{361}{4}=200$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{361}{4} वजा करा.

$$2x=\frac{439}{4}$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=\frac{439}{8}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{439}{8},y=\frac{359}{8}$$