{l}{x-7y=6}{5x+3y=2} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - 7 y = 6 } \\ { 5 x + 3 y = 2 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=\frac{16}{19}\approx 0.842105263$$

$$y=-\frac{14}{19}\approx -0.736842105$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$x-7y=6,5x+3y=2$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$x-7y=6$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 7y जोडा.

$$x=7y+6$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी 7y+6 चा विकल्प वापरा, 5x+3y=2.

$$5\left(7y+6\right)+3y=2$$

7y+6 ला 5 वेळा गुणाकार करा.

$$35y+30+3y=2$$

35y ते 3y जोडा.

$$38y+30=2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 30 वजा करा.

$$38y=-28$$

दोन्ही बाजूंना 38 ने विभागा.

$$y=-\frac{14}{19}$$

x=7y+6 मध्ये y साठी -\frac{14}{19} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=7\left(-\frac{14}{19}\right)+6$$

-\frac{14}{19} ला 7 वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{98}{19}+6$$

6 ते -\frac{98}{19} जोडा.

$$x=\frac{16}{19}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{16}{19},y=-\frac{14}{19}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$x-7y=6,5x+3y=2$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&-7\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&-7\\5&3\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-7\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-7\times 5\right)}&-\frac{-7}{3-\left(-7\times 5\right)}\\-\frac{5}{3-\left(-7\times 5\right)}&\frac{1}{3-\left(-7\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{38}&\frac{7}{38}\\-\frac{5}{38}&\frac{1}{38}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{38}\times 6+\frac{7}{38}\times 2\\-\frac{5}{38}\times 6+\frac{1}{38}\times 2\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{19}\\-\frac{14}{19}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{16}{19},y=-\frac{14}{19}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$x-7y=6,5x+3y=2$$

x आणि 5x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 5 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने गुणाकार करा.

$$5x+5\left(-7\right)y=5\times 6,5x+3y=2$$

सरलीकृत करा.

$$5x-35y=30,5x+3y=2$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 5x-35y=30 मधून 5x+3y=2 वजा करा.

$$5x-5x-35y-3y=30-2$$

5x ते -5x जोडा. 5x आणि -5x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-35y-3y=30-2$$

-35y ते -3y जोडा.

$$-38y=30-2$$

30 ते -2 जोडा.

$$-38y=28$$

दोन्ही बाजूंना -38 ने विभागा.

$$y=-\frac{14}{19}$$

5x+3y=2 मध्ये y साठी -\frac{14}{19} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$5x+3\left(-\frac{14}{19}\right)=2$$

-\frac{14}{19} ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$5x-\frac{42}{19}=2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{42}{19} जोडा.

$$5x=\frac{80}{19}$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$x=\frac{16}{19}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{16}{19},y=-\frac{14}{19}$$