{l}{x-6y=3}{2x-18y=-6} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - 6 y = 3 } \\ { 2 x - 18 y = - 6 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=15$$

$$y=2$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$x-6y=3,2x-18y=-6$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$x-6y=3$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 6y जोडा.

$$x=6y+3$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी 6y+3 चा विकल्प वापरा, 2x-18y=-6.

$$2\left(6y+3\right)-18y=-6$$

6y+3 ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$12y+6-18y=-6$$

12y ते -18y जोडा.

$$-6y+6=-6$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 6 वजा करा.

$$-6y=-12$$

दोन्ही बाजूंना -6 ने विभागा.

$$y=2$$

x=6y+3 मध्ये y साठी 2 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=6\times 2+3$$

2 ला 6 वेळा गुणाकार करा.

$$x=12+3$$

3 ते 12 जोडा.

$$x=15$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=15,y=2$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$x-6y=3,2x-18y=-6$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&-6\\2&-18\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-6\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&-6\\2&-18\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\2&-18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-6\\2&-18\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\2&-18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-6\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\2&-18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-6\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\2&-18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{18}{-18-\left(-6\times 2\right)}&-\frac{-6}{-18-\left(-6\times 2\right)}\\-\frac{2}{-18-\left(-6\times 2\right)}&\frac{1}{-18-\left(-6\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-6\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-1\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-6\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times 3-\left(-6\right)\\\frac{1}{3}\times 3-\frac{1}{6}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=15,y=2$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$x-6y=3,2x-18y=-6$$

x आणि 2x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने गुणाकार करा.

$$2x+2\left(-6\right)y=2\times 3,2x-18y=-6$$

सरलीकृत करा.

$$2x-12y=6,2x-18y=-6$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 2x-12y=6 मधून 2x-18y=-6 वजा करा.

$$2x-2x-12y+18y=6+6$$

2x ते -2x जोडा. 2x आणि -2x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-12y+18y=6+6$$

-12y ते 18y जोडा.

$$6y=6+6$$

6 ते 6 जोडा.

$$6y=12$$

दोन्ही बाजूंना 6 ने विभागा.

$$y=2$$

2x-18y=-6 मध्ये y साठी 2 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$2x-18\times 2=-6$$

2 ला -18 वेळा गुणाकार करा.

$$2x-36=-6$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 36 जोडा.

$$2x=30$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=15$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=15,y=2$$