{l}{x-3=y}{x/4-1=y} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - 3 = y } \\ { \frac { x } { 4 } - 1 = y } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2.666666667$$

$$y=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून y वजा करा.

$$x-3-y=0$$

दोन्ही बाजूंना 3 जोडा. कोणत्याही संख्येत शून्य अधिक केल्यास तीच संख्या मिळते.

$$x-y=3$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून y वजा करा.

$$\frac{x}{4}-1-y=0$$

दोन्ही बाजूंना 1 जोडा. कोणत्याही संख्येत शून्य अधिक केल्यास तीच संख्या मिळते.

$$\frac{x}{4}-y=1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 4 ने गुणाकार करा.

$$x-4y=4$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$x-y=3,x-4y=4$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$x-y=3$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस y जोडा.

$$x=y+3$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी y+3 चा विकल्प वापरा, x-4y=4.

$$y+3-4y=4$$

y ते -4y जोडा.

$$-3y+3=4$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 3 वजा करा.

$$-3y=1$$

दोन्ही बाजूंना -3 ने विभागा.

$$y=-\frac{1}{3}$$

x=y+3 मध्ये y साठी -\frac{1}{3} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{1}{3}+3$$

3 ते -\frac{1}{3} जोडा.

$$x=\frac{8}{3}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{8}{3},y=-\frac{1}{3}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून y वजा करा.

$$x-3-y=0$$

दोन्ही बाजूंना 3 जोडा. कोणत्याही संख्येत शून्य अधिक केल्यास तीच संख्या मिळते.

$$x-y=3$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून y वजा करा.

$$\frac{x}{4}-1-y=0$$

दोन्ही बाजूंना 1 जोडा. कोणत्याही संख्येत शून्य अधिक केल्यास तीच संख्या मिळते.

$$\frac{x}{4}-y=1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 4 ने गुणाकार करा.

$$x-4y=4$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$x-y=3,x-4y=4$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&-1\\1&-4\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{-4-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{-4-\left(-1\right)}&\frac{1}{-4-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\times 3-\frac{1}{3}\times 4\\\frac{1}{3}\times 3-\frac{1}{3}\times 4\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3}\\-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{8}{3},y=-\frac{1}{3}$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून y वजा करा.

$$x-3-y=0$$

दोन्ही बाजूंना 3 जोडा. कोणत्याही संख्येत शून्य अधिक केल्यास तीच संख्या मिळते.

$$x-y=3$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून y वजा करा.

$$\frac{x}{4}-1-y=0$$

दोन्ही बाजूंना 1 जोडा. कोणत्याही संख्येत शून्य अधिक केल्यास तीच संख्या मिळते.

$$\frac{x}{4}-y=1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 4 ने गुणाकार करा.

$$x-4y=4$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$x-y=3,x-4y=4$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून x-y=3 मधून x-4y=4 वजा करा.

$$x-x-y+4y=3-4$$

x ते -x जोडा. x आणि -x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-y+4y=3-4$$

-y ते 4y जोडा.

$$3y=3-4$$

3 ते -4 जोडा.

$$3y=-1$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$y=-\frac{1}{3}$$

x-4y=4 मध्ये y साठी -\frac{1}{3} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x-4\left(-\frac{1}{3}\right)=4$$

-\frac{1}{3} ला -4 वेळा गुणाकार करा.

$$x+\frac{4}{3}=4$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{4}{3} वजा करा.

$$x=\frac{8}{3}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{8}{3},y=-\frac{1}{3}$$