{l}{x-2y=17}{7x-6y=47} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - 2 y = 17 } \\ { 7 x - 6 y = 47 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=-1$$

$$y=-9$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$x-2y=17,7x-6y=47$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$x-2y=17$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 2y जोडा.

$$x=2y+17$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी 2y+17 चा विकल्प वापरा, 7x-6y=47.

$$7\left(2y+17\right)-6y=47$$

2y+17 ला 7 वेळा गुणाकार करा.

$$14y+119-6y=47$$

14y ते -6y जोडा.

$$8y+119=47$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 119 वजा करा.

$$8y=-72$$

दोन्ही बाजूंना 8 ने विभागा.

$$y=-9$$

x=2y+17 मध्ये y साठी -9 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=2\left(-9\right)+17$$

-9 ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$x=-18+17$$

17 ते -18 जोडा.

$$x=-1$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-1,y=-9$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$x-2y=17,7x-6y=47$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\7&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\47\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&-2\\7&-6\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\7&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\7&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\7&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\47\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\7&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\47\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\7&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\47\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{-6-\left(-2\times 7\right)}&-\frac{-2}{-6-\left(-2\times 7\right)}\\-\frac{7}{-6-\left(-2\times 7\right)}&\frac{1}{-6-\left(-2\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\47\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{7}{8}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\47\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4}\times 17+\frac{1}{4}\times 47\\-\frac{7}{8}\times 17+\frac{1}{8}\times 47\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-9\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-1,y=-9$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$x-2y=17,7x-6y=47$$

x आणि 7x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 7 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने गुणाकार करा.

$$7x+7\left(-2\right)y=7\times 17,7x-6y=47$$

सरलीकृत करा.

$$7x-14y=119,7x-6y=47$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 7x-14y=119 मधून 7x-6y=47 वजा करा.

$$7x-7x-14y+6y=119-47$$

7x ते -7x जोडा. 7x आणि -7x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-14y+6y=119-47$$

-14y ते 6y जोडा.

$$-8y=119-47$$

119 ते -47 जोडा.

$$-8y=72$$

दोन्ही बाजूंना -8 ने विभागा.

$$y=-9$$

7x-6y=47 मध्ये y साठी -9 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$7x-6\left(-9\right)=47$$

-9 ला -6 वेळा गुणाकार करा.

$$7x+54=47$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 54 वजा करा.

$$7x=-7$$

दोन्ही बाजूंना 7 ने विभागा.

$$x=-1$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-1,y=-9$$