{l}{x-y+3/2=3x+y+1}{5x+y/2=2x-1} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - \frac { y + 3 } { 2 } = 3 x + y + 1 } \\ { \frac { 5 x + y } { 2 } = 2 x - 1 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=1$$

$$y=-3$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 2 ने गुणाकार करा.

$$2x-\left(y+3\right)=6x+2y+2$$

y+3 च्या विरुद्ध शोधण्यासाठी, प्रत्येक टर्मच्या विरुद्ध शोधा.

$$2x-y-3=6x+2y+2$$

दोन्ही बाजूंकडून 6x वजा करा.

$$2x-y-3-6x=2y+2$$

-4x मिळविण्यासाठी 2x आणि -6x एकत्र करा.

$$-4x-y-3=2y+2$$

दोन्ही बाजूंकडून 2y वजा करा.

$$-4x-y-3-2y=2$$

-3y मिळविण्यासाठी -y आणि -2y एकत्र करा.

$$-4x-3y-3=2$$

दोन्ही बाजूंना 3 जोडा.

$$-4x-3y=2+3$$

5 मिळविण्यासाठी 2 आणि 3 जोडा.

$$-4x-3y=5$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 2 ने गुणाकार करा.

$$5x+y=4x-2$$

दोन्ही बाजूंकडून 4x वजा करा.

$$5x+y-4x=-2$$

x मिळविण्यासाठी 5x आणि -4x एकत्र करा.

$$x+y=-2$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$-4x-3y=5,x+y=-2$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$-4x-3y=5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 3y जोडा.

$$-4x=3y+5$$

दोन्ही बाजूंना -4 ने विभागा.

$$x=-\frac{1}{4}\left(3y+5\right)$$

3y+5 ला -\frac{1}{4} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{3}{4}y-\frac{5}{4}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-3y-5}{4} चा विकल्प वापरा, x+y=-2.

$$-\frac{3}{4}y-\frac{5}{4}+y=-2$$

-\frac{3y}{4} ते y जोडा.

$$\frac{1}{4}y-\frac{5}{4}=-2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{5}{4} जोडा.

$$\frac{1}{4}y=-\frac{3}{4}$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने गुणाकार करा.

$$y=-3$$

x=-\frac{3}{4}y-\frac{5}{4} मध्ये y साठी -3 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{3}{4}\left(-3\right)-\frac{5}{4}$$

-3 ला -\frac{3}{4} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{9-5}{4}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून -\frac{5}{4} ते \frac{9}{4} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=1$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=1,y=-3$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 2 ने गुणाकार करा.

$$2x-\left(y+3\right)=6x+2y+2$$

y+3 च्या विरुद्ध शोधण्यासाठी, प्रत्येक टर्मच्या विरुद्ध शोधा.

$$2x-y-3=6x+2y+2$$

दोन्ही बाजूंकडून 6x वजा करा.

$$2x-y-3-6x=2y+2$$

-4x मिळविण्यासाठी 2x आणि -6x एकत्र करा.

$$-4x-y-3=2y+2$$

दोन्ही बाजूंकडून 2y वजा करा.

$$-4x-y-3-2y=2$$

-3y मिळविण्यासाठी -y आणि -2y एकत्र करा.

$$-4x-3y-3=2$$

दोन्ही बाजूंना 3 जोडा.

$$-4x-3y=2+3$$

5 मिळविण्यासाठी 2 आणि 3 जोडा.

$$-4x-3y=5$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 2 ने गुणाकार करा.

$$5x+y=4x-2$$

दोन्ही बाजूंकडून 4x वजा करा.

$$5x+y-4x=-2$$

x मिळविण्यासाठी 5x आणि -4x एकत्र करा.

$$x+y=-2$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$-4x-3y=5,x+y=-2$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-4-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{-4-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{-4-\left(-3\right)}&-\frac{4}{-4-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-3\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5-3\left(-2\right)\\5+4\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=1,y=-3$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 2 ने गुणाकार करा.

$$2x-\left(y+3\right)=6x+2y+2$$

y+3 च्या विरुद्ध शोधण्यासाठी, प्रत्येक टर्मच्या विरुद्ध शोधा.

$$2x-y-3=6x+2y+2$$

दोन्ही बाजूंकडून 6x वजा करा.

$$2x-y-3-6x=2y+2$$

-4x मिळविण्यासाठी 2x आणि -6x एकत्र करा.

$$-4x-y-3=2y+2$$

दोन्ही बाजूंकडून 2y वजा करा.

$$-4x-y-3-2y=2$$

-3y मिळविण्यासाठी -y आणि -2y एकत्र करा.

$$-4x-3y-3=2$$

दोन्ही बाजूंना 3 जोडा.

$$-4x-3y=2+3$$

5 मिळविण्यासाठी 2 आणि 3 जोडा.

$$-4x-3y=5$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 2 ने गुणाकार करा.

$$5x+y=4x-2$$

दोन्ही बाजूंकडून 4x वजा करा.

$$5x+y-4x=-2$$

x मिळविण्यासाठी 5x आणि -4x एकत्र करा.

$$x+y=-2$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$-4x-3y=5,x+y=-2$$

-4x आणि x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -4 ने गुणाकार करा.

$$-4x-3y=5,-4x-4y=-4\left(-2\right)$$

सरलीकृत करा.

$$-4x-3y=5,-4x-4y=8$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -4x-3y=5 मधून -4x-4y=8 वजा करा.

$$-4x+4x-3y+4y=5-8$$

-4x ते 4x जोडा. -4x आणि 4x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-3y+4y=5-8$$

-3y ते 4y जोडा.

$$y=5-8$$

5 ते -8 जोडा.

$$y=-3$$

x+y=-2 मध्ये y साठी -3 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x-3=-2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 3 जोडा.

$$x=1$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=1,y=-3$$