{l}{x=-2y-5}{3x-2y=7} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = - 2 y - 5 } \\ { 3 x - 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

$$y = -\frac{11}{4} = -2\frac{3}{4} = -2.75$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना 2y जोडा.

$$x+2y=-5$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$x+2y=-5,3x-2y=7$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$x+2y=-5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 2y वजा करा.

$$x=-2y-5$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -2y-5 चा विकल्प वापरा, 3x-2y=7.

$$3\left(-2y-5\right)-2y=7$$

-2y-5 ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$-6y-15-2y=7$$

-6y ते -2y जोडा.

$$-8y-15=7$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 15 जोडा.

$$-8y=22$$

दोन्ही बाजूंना -8 ने विभागा.

$$y=-\frac{11}{4}$$

x=-2y-5 मध्ये y साठी -\frac{11}{4} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-2\left(-\frac{11}{4}\right)-5$$

-\frac{11}{4} ला -2 वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{11}{2}-5$$

-5 ते \frac{11}{2} जोडा.

$$x=\frac{1}{2}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{1}{2},y=-\frac{11}{4}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना 2y जोडा.

$$x+2y=-5$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$x+2y=-5,3x-2y=7$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\7\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&2\\3&-2\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\7\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-2\times 3}&-\frac{2}{-2-2\times 3}\\-\frac{3}{-2-2\times 3}&\frac{1}{-2-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\7\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\left(-5\right)+\frac{1}{4}\times 7\\\frac{3}{8}\left(-5\right)-\frac{1}{8}\times 7\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\-\frac{11}{4}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{1}{2},y=-\frac{11}{4}$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना 2y जोडा.

$$x+2y=-5$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$x+2y=-5,3x-2y=7$$

x आणि 3x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने गुणाकार करा.

$$3x+3\times 2y=3\left(-5\right),3x-2y=7$$

सरलीकृत करा.

$$3x+6y=-15,3x-2y=7$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 3x+6y=-15 मधून 3x-2y=7 वजा करा.

$$3x-3x+6y+2y=-15-7$$

3x ते -3x जोडा. 3x आणि -3x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$6y+2y=-15-7$$

6y ते 2y जोडा.

$$8y=-15-7$$

-15 ते -7 जोडा.

$$8y=-22$$

दोन्ही बाजूंना 8 ने विभागा.

$$y=-\frac{11}{4}$$

3x-2y=7 मध्ये y साठी -\frac{11}{4} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$3x-2\left(-\frac{11}{4}\right)=7$$

-\frac{11}{4} ला -2 वेळा गुणाकार करा.

$$3x+\frac{11}{2}=7$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{11}{2} वजा करा.

$$3x=\frac{3}{2}$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{2}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{1}{2},y=-\frac{11}{4}$$